Resolva os sistemas abaixo utilizando a fatoração L U.
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}=9 \\\\ 2 x_{1}+12 x_{2}+5 x_{3}=-4 \\\\ -x_{1}-3 x_{2}-x_{3}=17 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}=9,\\[4pt] 2 x_{1}+12 x_{2}+5 x_{3}=-4,\\[4pt] - x_{1}-3 x_{2}-x_{3}=17, \end{cases}
ou seja, resolver A x=b onde as entradas são:
A=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2\\[4pt] 2 & 12 & 5\\[4pt] -1 & -3 & -1 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-4\\[4pt]17\end{pmatrix}.
A tarefa explícita é usar a fatoração LU para encontrar x=(x_{1},x_{2},x_{3})^T. Todas as constantes e coeficientes do sistema estão listados acima.]

Passo 2

O que significa fatorar A em L e U (ideia e objetivo).
  • A ideia da fatoração LU é escrever a matriz A como produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U:
A = L U.
  • Aqui adotaremos o formato decomposto com L tendo \emph{uns} na diagonal (forma de Doolittle), ou seja
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
  • Uma vez que A=LU, resolver A x=b é feito em duas etapas mais simples:
    1. Resolver L y = b por substituição progressiva (forward substitution) para obter y.
    2. Resolver U x = y por substituição regressiva (back substitution) para obter x.
  • Para construir L e U normalmente aplicamos eliminação de Gauss na matriz A e guardamos os multiplicadores usados em L.]

Passo 3

Início da eliminação direta sobre A e detecção de problema de pivô.
  • Vamos aplicar o procedimento de Doolittle: usar u_{11}=a_{11}=1 como primeiro pivô e eliminar abaixo dele.
  • Cálculo dos multiplicadores da primeira coluna:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-1}{1}=-1.
  • Atualizando as linhas 2 e 3: \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - \ell_{i1}\cdot \text{linha}_1.
    • Linha 2: [2,12,5] - 2\cdot[1,6,2] = [0,0,1].
    • Linha 3: [-1,-3,-1] - (-1)\cdot[1,6,2] = [0,3,1].
  • A matriz U parcial fica
U^{(1)}=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
  • Repare que o pivô da segunda etapa seria u_{22}=0. Isto impede a continuação direta (não podemos dividir por zero para obter \ell_{32}). Portanto não existe fatoração A=LU sem permutar linhas — precisamos trocar linhas para evitar pivô zero.]

Passo 4

Introdução da permutação de linhas (fatoração com pivoteamento): P A = L U.
  • Quando um pivô é zero é comum aplicar uma permutação de linhas para trocar por uma linha com pivô não nulo. Isso leva à fórmula generalizada
P A = L U,
onde P é uma matriz permutação (obtida por permutar linhas da identidade). Resolver A x=b fica:
P A x = P b \quad\Rightarrow\quad L U x = P b.
  • Procederemos trocando a linha 2 com a linha 3 de A (isto é uma permutação simples) porque a linha 3 tem um bom candidato a pivô na segunda coluna após a primeira eliminação do caso alternativo — na prática é equivalente a escolher a linha com coeficiente não nulo nessa posição.
  • A matriz permutação que troca linhas 2 e 3 é
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Aplicando P em A (troca das linhas 2 e 3) obtemos
P A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2\\[4pt] -1 & -3 & -1\\[4pt] 2 & 12 & 5 \end{pmatrix}.
  • Também aplicamos a mesma permutação em b:
P b = \begin{pmatrix}9\\[4pt]17\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
(Na prática, basta trocar os elementos 2 e 3 de b.)]

Passo 5

Fatoração L U de P A por eliminação (Doolittle) — cálculo detalhado dos multiplicadores e das atualizações.
  • Partimos de A' := P A:
A'=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2\\[4pt] -1 & -3 & -1\\[4pt] 2 & 12 & 5 \end{pmatrix}.
  • Primeiro pivô u_{11}=1. Multiplicadores da coluna 1:
\ell_{21}=\frac{-1}{1}=-1,\qquad \ell_{31}=\frac{2}{1}=2.
  • Atualizar linhas 2 e 3:
    • Linha 2: [-1,-3,-1] - (-1)\cdot[1,6,2] = [0,3,1].
    • Linha 3: [2,12,5] - 2\cdot[1,6,2] = [0,0,1].
  • Matriz após primeira eliminação:
\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Agora o pivô da segunda etapa é u_{22}=3 (não zero). Multiplicador:
\ell_{32}=\frac{0}{3}=0.
  • Atualizar linha 3 com \ell_{32}=0 não altera a linha 3.
  • Assim obtemos as matrizes L e U:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Verificação rápida (multiplicando L U) mostra que L U = A' = P A, ou seja, a fatoração P A = L U está correta.]

Passo 6

Resolver L y = P b por substituição progressiva.
  • Temos P b = \begin{pmatrix}9\\[4pt]17\\[4pt]-4\end{pmatrix}. Escrevemos y=(y_{1},y_{2},y_{3})^T e resolvemos:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt]y_{2}\\[4pt]y_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\[4pt]17\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
  • Escrevendo as equações linha a linha:
    1. 1\cdot y_{1} = 9 \Rightarrow \displaystyle y_{1}=9.
    2. -1\cdot y_{1} + 1\cdot y_{2} = 17 \Rightarrow y_{2}=17 + y_{1} = 17+9 = 26.
    3. 2\cdot y_{1} + 0\cdot y_{2} + 1\cdot y_{3} = -4 \Rightarrow y_{3} = -4 - 2y_{1} = -4 - 18 = -22.
  • Resultado:
y=\begin{pmatrix}9\\[4pt]26\\[4pt]-22\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver U x = y por substituição regressiva para obter x.
  • Temos
\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\[4pt]26\\[4pt]-22\end{pmatrix}.
  • Resolver de baixo para cima:
    1. Terceira equação: 1\cdot x_{3} = -22 \Rightarrow \displaystyle x_{3}=-22.
    2. Segunda equação: 3\cdot x_{2} + 1\cdot x_{3} = 26 \Rightarrow 3x_{2} + (-22) = 26 \Rightarrow 3x_{2}=48 \Rightarrow \displaystyle x_{2}=16.
    3. Primeira equação: x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} = 9 \Rightarrow x_{1} + 6\cdot16 + 2\cdot(-22) = 9.
      Calcular os termos: 6\cdot16=96, 2\cdot(-22)=-44. Então x_{1} + 96 -44 = 9 \Rightarrow x_{1}+52=9 \Rightarrow \displaystyle x_{1} = 9 - 52 = -43.
  • Obtemos
x=\begin{pmatrix}-43\\[4pt]16\\[4pt]-22\end{pmatrix}.]

Resposta

x_{1}=-43
x_{2}=16
x_{3}=-22

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