Repare que o pivô da segunda etapa seria u_{22}=0. Isto impede a continuação direta (não podemos dividir por zero para obter \ell_{32}). Portanto não existe fatoração A=LU sem permutar linhas — precisamos trocar linhas para evitar pivô zero.]
Passo 4
Introdução da permutação de linhas (fatoração com pivoteamento): P A = L U.
Quando um pivô é zero é comum aplicar uma permutação de linhas para trocar por uma linha com pivô não nulo. Isso leva à fórmula generalizada
P A = L U,
onde P é uma matriz permutação (obtida por permutar linhas da identidade). Resolver A x=b fica:
P A x = P b \quad\Rightarrow\quad L U x = P b.
Procederemos trocando a linha 2 com a linha 3 de A (isto é uma permutação simples) porque a linha 3 tem um bom candidato a pivô na segunda coluna após a primeira eliminação do caso alternativo — na prática é equivalente a escolher a linha com coeficiente não nulo nessa posição.