Seja f(x)=e^{x} :
Obtenha a série de Fourier de cosenos para f(x) no intervalo ( 0, \pi )

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=e^{x} no intervalo (0,\pi) e pede: obter a série de Fourier de cossenos (ou seja, a expansão em série apenas com termos \cos(nx)) para f nesse intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=e^{x}.
  • O intervalo é 0<x<\pi.
  • A série pedida é a série de cossenos (meio-intervalo) — ou seja, uma expansão do tipo constante + soma de \cos(nx).
    O que se quer obter: os coeficientes da série (o termo constante e os coeficientes dos cossenos) e, portanto, a expressão da série completa.

Passo 2

Forma geral da série de cossenos no intervalo (0,\pi) e significado dos coeficientes.
Quando se busca a série de Fourier composta só por cossenos em (0,\pi) (meio-intervalo par), representa-se f(x) por
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx),
onde os coeficientes a_n são dados por
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\qquad(n=0,1,2,\dots)
e, em particular,
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx.
Explicando por quê, de forma intuitiva: a expansão em cossenos equivale a estender f de (0,\pi) para (-\pi,\pi) como uma função par; os cossenos formam uma base ortogonal para funções pares em (-\pi,\pi). Os fatores \tfrac{2}{\pi} e \tfrac{a_0}{2} vêm da ortogonalidade \int_0^\pi \cos(nx)\cos(mx)\,dx.

Passo 3

Cálculo de a_0.
Usando a definição,
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} e^{x}\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{\pi}=e^{\pi}-1.
Portanto
a_0=\frac{2}{\pi}\bigl(e^{\pi}-1\bigr).
O termo constante na série será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{\pi}\bigl(e^{\pi}-1\bigr).

Passo 4

Cálculo geral de \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{x}\cos(nx)\,dx (passo chave para a_n com n\ge1).
Vamos encontrar uma expressão fechada para a primitiva \displaystyle\int e^{x}\cos(nx)\,dx. Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando a fórmula padrão), obtemos a identidade (mostro o raciocínio resumido e as contas principais):
Defina I=\int e^{x}\cos(nx)\,dx. Integrando por partes duas vezes e isolando I obtém-se
(1+n^{2})I = e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr).
Logo a primitiva é
\int e^{x}\cos(nx)\,dx = \frac{e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr)}{1+n^{2}} + C.
(Verificação rápida: derivando o lado direito recupera e^{x}\cos(nx).)

Passo 5

Avaliação da integral definida e obtenção de a_n para n\ge1.
Usando a primitiva encontrada,
\int_{0}^{\pi} e^{x}\cos(nx)\,dx = \left.\frac{e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr)}{1+n^{2}}\right|_{0}^{\pi}.
Observando que \sin(n\pi)=0 e \sin(0)=0, \cos(n\pi)=(-1)^{n} e \cos 0=1, temos
\int_{0}^{\pi} e^{x}\cos(nx)\,dx = \frac{1}{1+n^{2}}\bigl(e^{\pi}(-1)^{n}-1\bigr).
Agora aplicamos a fórmula dos coeficientes:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} e^{x}\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{e^{\pi}(-1)^{n}-1}{1+n^{2}},\qquad n\ge1.

Passo 6

Resumo dos coeficientes encontrados e observações finais.
  • Coeficiente constante:
a_0=\frac{2}{\pi}\bigl(e^{\pi}-1\bigr).
  • Coeficientes dos cossenos (para n\ge1):
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{e^{\pi}(-1)^{n}-1}{1+n^{2}}.
Observação sobre convergência: a série de cossenos com esses coeficientes converge para e^{x} em todo x\in(0,\pi). Nos pontos de fronteira x=0,\pi a série converge para a média dos limites laterais da extensão par (valor médio) — detalhe técnico que normalmente não é pedido, mas é bom saber.

Resposta

e^{x}\sim \frac{1}{\pi}\bigl(e^{\pi}-1\bigr)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi}\cdot\frac{e^{\pi}(-1)^{n}-1}{1+n^{2}}\cos(nx)

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