Seja f(x)=e^{x} :
Obtenha a série de Fourier de cosenos para f(x) no intervalo ( 0, \pi )
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(x)=e^{x} no intervalo (0,\pi) e pede: obter a série de Fourier de cossenos (ou seja, a expansão em série apenas com termos \cos(nx)) para f nesse intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
A função é f(x)=e^{x}.
O intervalo é 0<x<\pi.
A série pedida é a série de cossenos (meio-intervalo) — ou seja, uma expansão do tipo constante + soma de \cos(nx).
O que se quer obter: os coeficientes da série (o termo constante e os coeficientes dos cossenos) e, portanto, a expressão da série completa.
Passo 2
Forma geral da série de cossenos no intervalo (0,\pi) e significado dos coeficientes.
Quando se busca a série de Fourier composta só por cossenos em (0,\pi) (meio-intervalo par), representa-se f(x) por
Explicando por quê, de forma intuitiva: a expansão em cossenos equivale a estender f de (0,\pi) para (-\pi,\pi) como uma função par; os cossenos formam uma base ortogonal para funções pares em (-\pi,\pi). Os fatores \tfrac{2}{\pi} e \tfrac{a_0}{2} vêm da ortogonalidade \int_0^\pi \cos(nx)\cos(mx)\,dx.
O termo constante na série será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{\pi}\bigl(e^{\pi}-1\bigr).
Passo 4
Cálculo geral de \displaystyle\int_{0}^{\pi} e^{x}\cos(nx)\,dx (passo chave para a_n com n\ge1).
Vamos encontrar uma expressão fechada para a primitiva \displaystyle\int e^{x}\cos(nx)\,dx. Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando a fórmula padrão), obtemos a identidade (mostro o raciocínio resumido e as contas principais):
Defina I=\int e^{x}\cos(nx)\,dx. Integrando por partes duas vezes e isolando I obtém-se
(1+n^{2})I = e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr).
Logo a primitiva é
\int e^{x}\cos(nx)\,dx = \frac{e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr)}{1+n^{2}} + C.
(Verificação rápida: derivando o lado direito recupera e^{x}\cos(nx).)
Passo 5
Avaliação da integral definida e obtenção de a_n para n\ge1.
Usando a primitiva encontrada,
Observação sobre convergência: a série de cossenos com esses coeficientes converge para e^{x} em todo x\in(0,\pi). Nos pontos de fronteira x=0,\pi a série converge para a média dos limites laterais da extensão par (valor médio) — detalhe técnico que normalmente não é pedido, mas é bom saber.