Seja R a região delimitada pela y=x e a parábola y^2=x e S1 o sólido de revolução obtido ao girar a região R em torno do eixo y.
Escreva uma integral para o cálculo do volume do sólido S1 utilizando o método das fatias (Não é necessário calcular a integral).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região R delimitada pela reta y = x e pela parábola y^2 = x. A parada é girar essa região em torno do eixo y para formar um sólido chamado S1. Nosso objetivo aqui é montar uma integral que calcule o volume desse sólido usando o método das fatias. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e aplicar o método apropriado para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde a reta y = x e a parábola y^2 = x se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualando as duas equações:
y = y^2
Subtraindo y de ambos os lados:
y^2 - y = 0 y(y - 1) = 0
Então, temos y = 0 e y = 1 como pontos de interseção. Isso significa que a região R está entre y = 0 e y = 1.

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo y, faz mais sentido trabalhar com x em função de y. Ou seja, vamos reescrever as equações para que elas estejam na forma x = f(y).
A reta y = x pode ser reescrita como:
x = y
E a parábola y^2 = x já está na forma que a gente quer:
x = y^2

Passo 4

No método das fatias, especialmente quando giramos em torno do eixo y, o volume de cada “fatia” cilíndrica infinitesimal é dado pela diferença entre os volumes dos cilindros formados pelas duas funções. A fórmula geral para o volume V é:
V = pi integrala^b ( R(y)^2 - r(y)^2 ) dy
Onde:
  • R(y) é a função externa (mais afastada do eixo de rotação),
  • r(y) é a função interna (mais próxima do eixo de rotação),
  • a e b são os limites de integração.

Passo 5

Identificando as funções:
  • A reta x = y é a função externa porque, para y entre 0 e 1, x = y está mais à direita que x = y^2.
  • A parábola x = y^2 é a função interna.
Os limites de integração são de y = 0 até y = 1.

Passo 6

Agora, vamos montar a integral usando essas informações na fórmula do método das fatias:
V = pi integral0^1 ( (y)^2 - (y^2)^2 ) dy
Simplificando um pouco:
V = pi integral0^1 ( y^2 - y^4 ) dy

Resposta

A integral para calcular o volume do sólido S1 é:
V = pi integral0^1 ( y^2 - y^4 ) dy

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