Seja
a região delimitada pela
e a parábola
e
o sólido de revolução obtido ao girar a região
em torno do eixo
.
Escreva uma integral para o cálculo do volume do sólido
utilizando o método das fatias (Não é necessário calcular a integral).
Escreva uma integral para o cálculo do volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região
delimitada pela reta
e pela parábola
. A parada é girar essa região em torno do eixo
para formar um sólido chamado
. Nosso objetivo aqui é montar uma integral que calcule o volume desse sólido usando o método das fatias. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e aplicar o método apropriado para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde a reta
e a parábola
se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, temos
e
como pontos de interseção. Isso significa que a região
está entre
e
.
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo
, faz mais sentido trabalhar com
em função de
. Ou seja, vamos reescrever as equações para que elas estejam na forma
.
A reta
pode ser reescrita como:
E a parábola
já está na forma que a gente quer:
Passo 4
No método das fatias, especialmente quando giramos em torno do eixo
, o volume de cada “fatia” cilíndrica infinitesimal é dado pela diferença entre os volumes dos cilindros formados pelas duas funções. A fórmula geral para o volume
é:
Onde:
-
é a função externa (mais afastada do eixo de rotação), -
é a função interna (mais próxima do eixo de rotação), -
e são os limites de integração.
Passo 5
Identificando as funções:
- A reta
é a função externa porque, para entre 0 e 1, está mais à direita que . - A parábola
é a função interna.
Os limites de integração são de
até
.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral usando essas informações na fórmula do método das fatias:
Simplificando um pouco:
Resposta
A integral para calcular o volume do sólido
é: