O que se pede é encontrar as soluções gerais x(t),y(t),z(t) (a família de soluções homogêneas com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Vou introduzir um operador para facilitar a escrita: defina D=\dfrac{d}{dt}. Com isso as equações ficam
\begin{aligned} & D x - 6y = 0,\\\ & x - D y + z = 0,\\\ & x + y - D z = 0. \end{aligned}
Explicando o que isso significa: D atua sobre uma função derivando-a; por exemplo, D x = x', D^2 x = x'' etc. Podemos manipular essas expressões algébrica e operatoriamente para eliminar variáveis, como se D fosse uma “letra” obedecendo a regras lineares (soma, multiplicação por constantes, composição corresponde a derivação sucessiva).
Passo 3
Da primeira equação obtemos diretamente y em função de x:
D x - 6y = 0 \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{6}D x.
Isto é simples: isolou-se y dividindo por 6.
Passo 4
Substituo y=\dfrac{1}{6}D x na segunda equação para escrever z em função de x. A segunda equação é x - D y + z = 0, então
z = D y - x.
Como y=\dfrac{1}{6}D x, tem-se
D y = D\!\left(\dfrac{1}{6}D x\right) = \dfrac{1}{6}D^2 x,
portanto
z = \dfrac{1}{6}D^2 x - x.
Passo 5
Agora uso a terceira equação x + y - D z = 0, que pode ser rearranjada como D z = x + y. Vou calcular D z a partir da expressão de z encontrada:
z = \dfrac{1}{6}D^2 x - x \quad\Rightarrow\quad D z = \dfrac{1}{6}D^3 x - D x.
Igualando com x+y e substituindo y=\dfrac{1}{6}D x, obtemos
\dfrac{1}{6}D^3 x - D x = x + \dfrac{1}{6}D x.
Multiplicando tudo por 6 para eliminar frações:
D^3 x - 6 D x = 6 x + D x.
Reorganizando termos:
D^3 x - 7 D x - 6 x = 0.
Voltando à notação de derivadas, isto é
x''' - 7x' - 6x = 0,
uma equação diferencial linear homogênea de ordem três com coeficientes constantes.
Passo 6
Para resolver x''' -7 x' -6 x = 0 procuramos soluções do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^3 - 7r - 6 = 0.
Testando raízes inteiras fáceis, verifica-se r=-1 é raiz porque (-1)^3-7(-1)-6 = -1+7-6=0. Fazendo divisão polinomial por r+1 obtém-se
r^3-7r-6=(r+1)(r^2-r-6)=(r+1)(r-3)(r+2).
Logo as raízes são r=-1,\; r=3,\; r=-2, todas distintas e reais.
Passo 7
Como as raízes são distintas, a solução geral para x(t) é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
x(t)=A e^{-t}+B e^{3t}+C e^{-2t},
onde A,B,C são constantes arbitrárias (constantes de integração).
Passo 8
Agora voltamos para obter y(t) e z(t) a partir de x(t). Lembrando que y=\dfrac{1}{6}D x=\dfrac{1}{6}x', calculo x':
Resumo final: as soluções gerais dependem de três constantes arbitrárias A,B,C. Como verificação rápida de consistência, ao substituir essas expressões em cada equação original as identidades se confirmam (por construção, pois derivamos y e z a partir de x que satisfaz a equação eliminada).
Força aí — está feito: dá para decorar o esquema: usar D para eliminar e reduzir a um ODE para uma variável, resolver o ODE pela equação característica e voltar substituindo.