Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores.
\left\{ \begin{array}{l} \frac{d x}{d t}-6 y=0 \\\ x-\frac{d y}{d t}+z=0 \\\ x+y-\frac{d z}{d t}=0 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais lineares a seguir, em que x(t),y(t),z(t) são funções desconhecidas de t:
\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{d x}{d t}-6 y=0,\\[6pt] x-\dfrac{d y}{d t}+z=0,\\[6pt] x+y-\dfrac{d z}{d t}=0. \end{array} \right.
O que se pede é encontrar as soluções gerais x(t),y(t),z(t) (a família de soluções homogêneas com constantes arbitrárias).]

Passo 2

Vou introduzir um operador para facilitar a escrita: defina D=\dfrac{d}{dt}. Com isso as equações ficam
\begin{aligned} & D x - 6y = 0,\\\ & x - D y + z = 0,\\\ & x + y - D z = 0. \end{aligned}
Explicando o que isso significa: D atua sobre uma função derivando-a; por exemplo, D x = x', D^2 x = x'' etc. Podemos manipular essas expressões algébrica e operatoriamente para eliminar variáveis, como se D fosse uma “letra” obedecendo a regras lineares (soma, multiplicação por constantes, composição corresponde a derivação sucessiva).

Passo 3

Da primeira equação obtemos diretamente y em função de x:
D x - 6y = 0 \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{6}D x.
Isto é simples: isolou-se y dividindo por 6.

Passo 4

Substituo y=\dfrac{1}{6}D x na segunda equação para escrever z em função de x. A segunda equação é x - D y + z = 0, então
z = D y - x.
Como y=\dfrac{1}{6}D x, tem-se
D y = D\!\left(\dfrac{1}{6}D x\right) = \dfrac{1}{6}D^2 x,
portanto
z = \dfrac{1}{6}D^2 x - x.

Passo 5

Agora uso a terceira equação x + y - D z = 0, que pode ser rearranjada como D z = x + y. Vou calcular D z a partir da expressão de z encontrada:
z = \dfrac{1}{6}D^2 x - x \quad\Rightarrow\quad D z = \dfrac{1}{6}D^3 x - D x.
Igualando com x+y e substituindo y=\dfrac{1}{6}D x, obtemos
\dfrac{1}{6}D^3 x - D x = x + \dfrac{1}{6}D x.
Multiplicando tudo por 6 para eliminar frações:
D^3 x - 6 D x = 6 x + D x.
Reorganizando termos:
D^3 x - 7 D x - 6 x = 0.
Voltando à notação de derivadas, isto é
x''' - 7x' - 6x = 0,
uma equação diferencial linear homogênea de ordem três com coeficientes constantes.

Passo 6

Para resolver x''' -7 x' -6 x = 0 procuramos soluções do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^3 - 7r - 6 = 0.
Testando raízes inteiras fáceis, verifica-se r=-1 é raiz porque (-1)^3-7(-1)-6 = -1+7-6=0. Fazendo divisão polinomial por r+1 obtém-se
r^3-7r-6=(r+1)(r^2-r-6)=(r+1)(r-3)(r+2).
Logo as raízes são r=-1,\; r=3,\; r=-2, todas distintas e reais.

Passo 7

Como as raízes são distintas, a solução geral para x(t) é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
x(t)=A e^{-t}+B e^{3t}+C e^{-2t},
onde A,B,C são constantes arbitrárias (constantes de integração).

Passo 8

Agora voltamos para obter y(t) e z(t) a partir de x(t). Lembrando que y=\dfrac{1}{6}D x=\dfrac{1}{6}x', calculo x':
x'(t) = -A e^{-t} + 3B e^{3t} -2C e^{-2t}.
Portanto
y(t)=\dfrac{1}{6}x'(t)= -\dfrac{A}{6} e^{-t} + \dfrac{3B}{6} e^{3t} - \dfrac{2C}{6} e^{-2t}.
Simplificando os coeficientes:
y(t) = -\dfrac{A}{6} e^{-t} + \dfrac{B}{2} e^{3t} - \dfrac{C}{3} e^{-2t}.

Passo 9

Para z(t) usamos z=\dfrac{1}{6}D^2 x - x = \dfrac{1}{6}x'' - x. Primeiro calcule x'':
x''(t) = A e^{-t} + 9B e^{3t} +4C e^{-2t}.
Então
z(t) = \dfrac{1}{6}x''(t) - x(t) = \dfrac{1}{6}\big(A e^{-t} + 9B e^{3t} +4C e^{-2t}\big) -\big(A e^{-t}+B e^{3t}+C e^{-2t}\big).
Agora combino termos exponenciais separadamente:
  • Coeficiente de e^{-t}: \dfrac{A}{6}-A = -\dfrac{5A}{6}.
  • Coeficiente de e^{3t}: \dfrac{9B}{6}-B = \dfrac{3B}{2}-B = \dfrac{B}{2}.
  • Coeficiente de e^{-2t}: \dfrac{4C}{6}-C = \dfrac{2C}{3}-C = -\dfrac{C}{3}.
Portanto
z(t) = -\dfrac{5A}{6} e^{-t} + \dfrac{B}{2} e^{3t} - \dfrac{C}{3} e^{-2t}.

Passo 10

Resumo final: as soluções gerais dependem de três constantes arbitrárias A,B,C. Como verificação rápida de consistência, ao substituir essas expressões em cada equação original as identidades se confirmam (por construção, pois derivamos y e z a partir de x que satisfaz a equação eliminada).
Força aí — está feito: dá para decorar o esquema: usar D para eliminar e reduzir a um ODE para uma variável, resolver o ODE pela equação característica e voltar substituindo.

Resposta

x(t)=A e^{-t}+B e^{3t}+C e^{-2t}
y(t)=-\dfrac{A}{6} e^{-t}+\dfrac{B}{2} e^{3t}-\dfrac{C}{3} e^{-2t}
z(t)=-\dfrac{5A}{6} e^{-t}+\dfrac{B}{2} e^{3t}-\dfrac{C}{3} e^{-2t}

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