Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores. \left\{
\begin{array}{l}
D x=y \\\ D y=z \\\ D z=x
\end{array}
\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
\left\{ \begin{array}{l} D x = y\\[4pt] D y = z\\[4pt] D z = x \end{array} \right.
e pede para resolver o sistema (isto é, encontrar x(t), y(t) e z(t) gerais). As informações relevantes que temos são exatamente essas três relações entre derivadas e funções; não há condições iniciais, portanto a solução conterá constantes arbitrárias.]
Passo 2
Vou usar o método dos operadores (trabalhando com D=\dfrac{d}{dt}) para reduzir o sistema a uma única equação para uma das incógnitas. Partindo da primeira equação:
D x = y.
Aplicando D novamente obtemos
D^2 x = D y = z,
e aplicando D mais uma vez:
D^3 x = D z = x.
Portanto x satisfaz a equação diferencial linear de ordem 3
(D^3 - 1)x = 0.
Explicando: a ideia do método dos operadores é tratar D como um “operador” que se pode multiplicar; aqui ao aplicar D repetidas vezes eliminamos y e z e obtemos uma equação só em x. Feito isso, resolvemos a equação escalar de ordem superior e depois recuperamos y e z pelas relações iniciais y=D x, z=D y.
Passo 3
Resolvendo a equação escalar (D^3-1)x=0. A equação característica é
Como r_{2} e r_{3} são complexas conjugadas, a contribuição real dessas raízes será expressa por funções exponenciais com decaimento e^{-t/2} multiplicando cosseno e seno. Defina
\omega=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Passo 4
A solução geral para x(t) (combinação linear das soluções fundamentais) é
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se fornecidas). Explicando: o termo e^{t} vem da raiz real r=1; os termos e^{-t/2}\cos(\omega t) e e^{-t/2}\sin(\omega t) vêm da combinação real das duas raízes complexas.
Passo 5
Agora vamos obter y usando y=D x. Diferenciando termo a termo (e usando a regra do produto para o segundo termo):
Observação: as expressões de x,y,z têm uma estrutura cíclica coerente com o sistema original.
Passo 7
Resumo e comentário final: a solução geral do sistema é determinada por três constantes C_1,C_2,C_3. Se forem dadas condições iniciais x(0),y(0),z(0) pode-se resolver um sistema linear para encontrar C_1,C_2,C_3. Se precisar, eu te mostro como fazer isso passo a passo com um conjunto específico de condições iniciais — força que tu consegue!