Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método dos operadores.
\left\{ \begin{array}{l} D x=y \\\ D y=z \\\ D z=x \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
\left\{ \begin{array}{l} D x = y\\[4pt] D y = z\\[4pt] D z = x \end{array} \right.
e pede para resolver o sistema (isto é, encontrar x(t), y(t) e z(t) gerais). As informações relevantes que temos são exatamente essas três relações entre derivadas e funções; não há condições iniciais, portanto a solução conterá constantes arbitrárias.]

Passo 2

Vou usar o método dos operadores (trabalhando com D=\dfrac{d}{dt}) para reduzir o sistema a uma única equação para uma das incógnitas. Partindo da primeira equação:
D x = y.
Aplicando D novamente obtemos
D^2 x = D y = z,
e aplicando D mais uma vez:
D^3 x = D z = x.
Portanto x satisfaz a equação diferencial linear de ordem 3
(D^3 - 1)x = 0.
Explicando: a ideia do método dos operadores é tratar D como um “operador” que se pode multiplicar; aqui ao aplicar D repetidas vezes eliminamos y e z e obtemos uma equação só em x. Feito isso, resolvemos a equação escalar de ordem superior e depois recuperamos y e z pelas relações iniciais y=D x, z=D y.

Passo 3

Resolvendo a equação escalar (D^3-1)x=0. A equação característica é
r^3-1=0.
Fatorando,
r^3-1=(r-1)(r^2+r+1)=0.
As raízes são
r_1=1,\qquad r_{2,3}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como r_{2} e r_{3} são complexas conjugadas, a contribuição real dessas raízes será expressa por funções exponenciais com decaimento e^{-t/2} multiplicando cosseno e seno. Defina
\omega=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

A solução geral para x(t) (combinação linear das soluções fundamentais) é
x(t)=C_1 e^{t} + e^{-t/2}\bigl(C_2\cos(\omega t)+C_3\sin(\omega t)\bigr),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se fornecidas). Explicando: o termo e^{t} vem da raiz real r=1; os termos e^{-t/2}\cos(\omega t) e e^{-t/2}\sin(\omega t) vêm da combinação real das duas raízes complexas.

Passo 5

Agora vamos obter y usando y=D x. Diferenciando termo a termo (e usando a regra do produto para o segundo termo):
y(t)=x'(t)=C_1 e^{t} + \frac{d}{dt}\Bigl[ e^{-t/2}\bigl(C_2\cos(\omega t)+C_3\sin(\omega t)\bigr)\Bigr].
Calcule a derivada do produto u(t)v(t) com u=e^{-t/2}, v=C_2\cos(\omega t)+C_3\sin(\omega t):
u'=-\tfrac{1}{2}e^{-t/2},\qquad v'=-C_2\omega\sin(\omega t)+C_3\omega\cos(\omega t).
Então
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\bigl(u v\bigr) &=u'v+u v'\\[4pt] &=e^{-t/2}\Bigl[-\tfrac{1}{2}\bigl(C_2\cos(\omega t)+C_3\sin(\omega t)\bigr) +\omega\bigl(-C_2\sin(\omega t)+C_3\cos(\omega t)\bigr)\Bigr]. \end{aligned}
Agrupando coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) obtemos
y(t)=C_1 e^{t} + e^{-t/2}\Bigl(\bigl(-\tfrac{1}{2}C_2+\omega C_3\bigr)\cos(\omega t) +\bigl(-\tfrac{1}{2}C_3-\omega C_2\bigr)\sin(\omega t)\Bigr).]

Passo 6

Finalmente, obtenha z por z=D y = x''. Diferenciando y(t) (novamente produto + soma de termos exponenciais):
z(t)=y'(t)=C_1 e^{t} + \frac{d}{dt}\Bigl[e^{-t/2}\bigl(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)\bigr)\Bigr],
onde, para abreviar,
a=-\tfrac{1}{2}C_2+\omega C_3,\qquad b=-\tfrac{1}{2}C_3-\omega C_2.
Usando o mesmo cálculo do passo anterior:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t/2}(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t))\bigr) =e^{-t/2}\Bigl(\bigl(-\tfrac{1}{2}a+\omega b\bigr)\cos(\omega t) +\bigl(-\tfrac{1}{2}b-\omega a\bigr)\sin(\omega t)\Bigr).
Substituindo a e b e simplificando (usando \omega^2=\tfrac{3}{4}) obtemos, após álgebra,
z(t)=C_1 e^{t} + e^{-t/2}\Bigl(\bigl(-\tfrac{1}{2}C_2-\omega C_3\bigr)\cos(\omega t) +\bigl(-\tfrac{1}{2}C_3+\omega C_2\bigr)\sin(\omega t)\Bigr).
Observação: as expressões de x,y,z têm uma estrutura cíclica coerente com o sistema original.

Passo 7

Resumo e comentário final: a solução geral do sistema é determinada por três constantes C_1,C_2,C_3. Se forem dadas condições iniciais x(0),y(0),z(0) pode-se resolver um sistema linear para encontrar C_1,C_2,C_3. Se precisar, eu te mostro como fazer isso passo a passo com um conjunto específico de condições iniciais — força que tu consegue!

Resposta

x(t)=C_1 e^{t} + e^{-t/2}\bigl(C_2\cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t)+C_3\sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t)\bigr)
y(t)=C_1 e^{t} + e^{-t/2}\Bigl(\bigl(-\tfrac{1}{2}C_2+\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_3\bigr)\cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t)+\bigl(-\tfrac{1}{2}C_3-\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2\bigr)\sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t)\Bigr)
z(t)=C_1 e^{t} + e^{-t/2}\Bigl(\bigl(-\tfrac{1}{2}C_2-\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_3\bigr)\cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t)+\bigl(-\tfrac{1}{2}C_3+\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_2\bigr)\sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t)\Bigr)

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