Resolva os sistemas de equações:
\left\{\begin{array}{l}x-4 y+z=0 \\\\ 3 x+y-2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear com duas equações e três incógnitas. Esse tipo de sistema geralmente tem infinitas soluções e requer escrever uma solução geral em termos de parâmetro. O conteúdo aqui é “sistemas lineares” e vamos usar o método de substituição e introduzir uma variável livre para obter a forma paramétrica.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x em função de y e z. O sistema é
\begin{cases} x - 4y + z = 0,\\\\ 3x + y - 2z = 0. \end{cases}
Da primeira linha,
x = 4y - z.

Passo 3

Substituímos x = 4y - z na segunda equação:
3(4y - z) + y - 2z = 0
12y - 3z + y - 2z = 0
13y - 5z = 0
y = \frac{5}{13}z.

Passo 4

Como sobra uma variável, escolhemos z como parâmetro livre. Para evitar frações, seja t\in\mathbb{R} tal que
z = 13t.
Então
y = \frac{5}{13}\,(13t) = 5t, \quad x = 4y - z = 4(5t) - 13t = 20t - 13t = 7t.

Resposta

A solução geral do sistema é
(x,y,z) = (7t,\;5t,\;13t), \quad t\in\mathbb{R}.

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