Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente. \left\{\begin{array}{r}x+y-2 z=3 \\\\ 2 x+2 y-4 z=6 \\\\ -x-y+z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema de três equações lineares em (x,y,z)\):
\[\begin{cases} x + y - 2z = 3,\\\\ 2x + 2y - 4z = 6,\\\\ -\,x - y + z = 0.
O objetivo é encontrar todas as soluções e interpretar geometricamente esse conjunto no espaço (\mathbb{R}^3]. Para resolver, vamos usar eliminação linear (método de Gauss) e depois interpretar a solução como interseção de planos.
Passo 2
Observamos que a segunda equação
2x + 2y - 4z = 6
é exatamente o dobro da primeira
x + y - 2z = 3.
Logo, ela não traz informação nova e pode ser descartada sem alterar o conjunto solução. Permanecem duas equações independentes:
\begin{cases} x + y - 2z = 3,\\\\ -\,x - y + z = 0. \end{cases}
Passo 3
Somando as duas equações para eliminar x+y, temos
(x + y - 2z) + (-x - y + z) = 3 + 0 \quad\Longrightarrow\quad -\,z = 3 \quad\Longrightarrow\quad z = -3.
Substituindo z=-3 em x+y-2z=3 dá
x + y - 2(-3) = 3 \quad\Longrightarrow\quad x + y +6 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x + y = -3.
Passo 4
Como há três incógnitas e apenas duas equações independentes, parametrizamos uma variável livre. Seja \lambda\in\mathbb{R} e defina