Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
\left\{\begin{array}{r}x+y-2 z=3 \\\\ 2 x+2 y-4 z=6 \\\\ -x-y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de três equações lineares em (x,y,z)\): \[\begin{cases} x + y - 2z = 3,\\\\ 2x + 2y - 4z = 6,\\\\ -\,x - y + z = 0.
O objetivo é encontrar todas as soluções e interpretar geometricamente esse conjunto no espaço (\mathbb{R}^3]. Para resolver, vamos usar eliminação linear (método de Gauss) e depois interpretar a solução como interseção de planos.

Passo 2

Observamos que a segunda equação
2x + 2y - 4z = 6
é exatamente o dobro da primeira
x + y - 2z = 3.
Logo, ela não traz informação nova e pode ser descartada sem alterar o conjunto solução. Permanecem duas equações independentes:
\begin{cases} x + y - 2z = 3,\\\\ -\,x - y + z = 0. \end{cases}

Passo 3

Somando as duas equações para eliminar x+y, temos
(x + y - 2z) + (-x - y + z) = 3 + 0 \quad\Longrightarrow\quad -\,z = 3 \quad\Longrightarrow\quad z = -3.
Substituindo z=-3 em x+y-2z=3
x + y - 2(-3) = 3 \quad\Longrightarrow\quad x + y +6 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x + y = -3.

Passo 4

Como há três incógnitas e apenas duas equações independentes, parametrizamos uma variável livre. Seja \lambda\in\mathbb{R} e defina
x = \lambda.
Então
y = -3 - x = -3 - \lambda, \quad z = -3.
A solução geral fica
(x,y,z) = \bigl(\lambda,\,-3-\lambda,\,-3\bigr), \quad \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 5

Geometricamente, cada equação representa um plano em \mathbb{R}^3. A segunda equação era redundante, restando apenas dois planos distintos:
P_1: x+y-2z=3, \quad P_2: -x-y+z=0.
A interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Portanto, o conjunto solução é exatamente essa reta, dada pela parametrização acima.

Resposta

\{\,(\lambda,\,-3-\lambda,\,-3)\mid \lambda\in\mathbb{R}\}.

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