Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\ x-y+2 z=2 \\\ x+6 y+3 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\ x - y + 2z = 2,\\\ x + 6y + 3z = 3, \end{cases}
e pede para resolver por eliminação gaussiana. Vamos zerar, em sequência, a variável x nas segunda e terceira equações para obter um sistema triangular.

Passo 2

Representamos o sistema original como matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 2 & 2\\\\ 1 & 6 & 3 & 3 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos x da segunda linha fazendo
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_1.
Isso transforma a segunda linha em
(1-1,\;-1-1,\;2-1\mid 2-1) = (0,\;-2,\;1\mid 1).

Passo 4

Eliminamos x da terceira linha fazendo
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1.
Isso transforma a terceira linha em
(1-1,\;6-1,\;3-1\mid 3-1) = (0,\;5,\;2\mid 2).

Passo 5

Agora o sistema equivalente é
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ -2y + z = 1,\\\\ 5y + 2z = 2. \end{cases}

Passo 6

Da segunda equação isolamos
z = 1 + 2y.
Substituindo em 5y + 2z = 2
5y + 2(1+2y) = 2 \quad\Longrightarrow\quad 5y + 2 + 4y = 2 \quad\Longrightarrow\quad 9y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Logo
z = 1 + 2\cdot 0 = 1.

Passo 7

Substituindo y=0, z=1 na primeira equação x + y + z = 1 temos
x + 0 + 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.

Passo 8

Geometricamente, cada equação representa um plano em \mathbb{R}^3. O fato de obtermos uma única solução (0,0,1) indica que os três planos se intersectam num único ponto.

Resposta

(x,y,z) = (0,\,0,\,1).

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