Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
lx+y+z=1 x-y+2 z=2 x+6 y+3 z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações utilizando o método da eliminação gaussiana. Esse método ajuda a simplificar o sistema para encontrar os valores das variáveis x , y e z . Vamos precisar realizar operações entre as equações para eliminar uma variável de cada vez e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema:
x + y + z = 1 (Equação 1) x - y + 2z = 2 (Equação 2) x + 6y + 3z = 3 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é eliminar a variável x das Equações 2 e 3.

Passo 3

Para eliminar x da Equação 2, subtraímos a Equação 1 da Equação 2:
Equação 2 - Equação 1: (x - y + 2z) - (x + y + z) = 2 - 1 Rightarrow -2y + z = 1 (Equação 4) çãçãçã

Passo 4

Agora, vamos eliminar x da Equação 3 subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
Equação 3 - Equação 1: (x + 6y + 3z) - (x + y + z) = 3 - 1 Rightarrow 5y + 2z = 2 (Equação 5) çãçãçã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
-2y + z = 1 (Equação 4) 5y + 2z = 2 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar y e z .

Passo 6

Da Equação 4, podemos expressar z em função de y :
-2y + z = 1 Rightarrow z = 1 + 2y

Passo 7

Substituímos z = 1 + 2y na Equação 5:
5y + 2(1 + 2y) = 2 Rightarrow 5y + 2 + 4y = 2 Rightarrow 9y + 2 = 2 Rightarrow 9y = 0 Rightarrow y = 0

Passo 8

Com y = 0 , substituímos de volta na expressão para z :
z = 1 + 2(0) = 1

Passo 9

Agora que temos y = 0 e z = 1 , substituímos esses valores na Equação 1 para encontrar x :
x + 0 + 1 = 1 Rightarrow x = 0

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = 0, z = 1

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