Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
l3 x+5 y=1 2 x+z=3 5 x+y-z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações lineares que você enviou usando o método da eliminação gaussiana. Esse método é uma técnica para simplificar sistemas de equações, facilitando encontrar os valores das variáveis. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e então realizar operações para chegar a uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matriz aumentada. Isso significa organizar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma tabela:
3 & 5 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação e as colunas correspondem às variáveis x , y , z e o termo constante.

Passo 3

O próximo passo é transformar a matriz para que abaixo da diagonal principal fiquem zeros. Isso é feito usando operações de linha, como multiplicação de uma linha por um número e subtração de linhas. Vamos começar eliminando o x das segunda e terceira equações.
Primeiro, para eliminar o x da segunda linha:
  • Multiplicamos a primeira linha por 23 e subtraímos da segunda linha.
L2 = L2 - ( 23 L1 )
Calculando:
L2 = [2, 0, 1 | 3] - ( 23 [3, 5, 0 | 1] ) = [2 - 2, 0 - 103, 1 - 0 | 3 - 23] = [0, -103, 1 | 73]
Agora, a matriz fica:
3 & 5 & 0 & | & 1 0 & -103 & 1 & | & 73 5 & 1 & -1 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x da terceira linha. Para isso:
  • Multiplicamos a primeira linha por 53 e subtraímos da terceira linha.
L3 = L3 - ( 53 L1 )
Calculando:
L3 = [5, 1, -1 | 0] - ( 53 [3, 5, 0 | 1] ) = [5 - 5, 1 - 253, -1 - 0 | 0 - 53] = [0, -223, -1 | -53]
A matriz agora está assim:
3 & 5 & 0 & | & 1 0 & -103 & 1 & | & 73 0 & -223 & -1 & | & -53

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais. Nosso próximo objetivo é tornar o elemento abaixo do termo y na segunda linha igual a zero. Para isso:
  • Multiplicamos a segunda linha por 2210 e subtraímos da terceira linha.
L3 = L3 - ( 2210 L2 )
Calculando:
L3 = [0, -223, -1 | -53] - ( 2210 [0, -103, 1 | 73] )
Simplificando os termos:
L3 = [0, -223 + 22030, -1 - 2210 | -53 - 15430] = [0, 0, -3210 | -9930]
Reduzindo as frações:
L3 = [0, 0, -165 | -3310]
Então, a matriz fica:
3 & 5 & 0 & | & 1 0 & -103 & 1 & | & 73 0 & 0 & -165 & | & -3310

Passo 6

Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos resolver para z na terceira equação:
-165 z = -3310
Resolvendo para z :
z = -3310-165 = 3310 times 516 = 33 times 510 times 16 = 165160 = 3332

Passo 7

Com o valor de z encontrado, vamos substituir na segunda equação para encontrar y :
-103 y + z = 73
Substituindo z = 3332 :
-103 y + 3332 = 73
Isolando y :
-103 y = 73 - 3332 = 224 - 9996 = 12596
y = -12596 times 310 = -375960 = -2564

Passo 8

Finalmente, com y e z conhecidos, substituímos na primeira equação para encontrar x :
3x + 5y = 1
Substituindo y = -2564 :
3x + 5 ( -2564 ) = 1
3x - 12564 = 1
Isolando x :
3x = 1 + 12564 = 64 + 12564 = 18964
x = 18964 div 3 = 189192 = 6364

Resposta

Os valores das variáveis são:
x = 6364, y = -2564, z = 3332

Exercícios relacionados