Resolva os sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}\frac{3 x+4}{4}>0 \\\ \frac{2 x-1}{2 x+1}>2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de inequações racionais
\begin{cases} \dfrac{3x+4}{4} > 0,\\[0.5em] \dfrac{2x-1}{2x+1} > 2. \end{cases}
O conteúdo é resolução de inequações envolvendo frações. Vamos primeiro achar o conjunto solução de cada inequação e depois intersectá-los.]

Passo 2

Resolvendo \dfrac{3x+4}{4}>0: como o denominador 4 é sempre positivo, basta exigir
3x+4>0
3x > -4
x > -\tfrac{4}{3}.
Logo a solução da primeira inequação é
x > -\tfrac{4}{3}.

Passo 3

Resolvendo \dfrac{2x-1}{2x+1}>2. Primeiro trazemos tudo para o mesmo lado:
\frac{2x-1}{2x+1} - 2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2x-1 - 2(2x+1)}{2x+1} > 0
\frac{2x - 1 - 4x - 2}{2x+1} > 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-2x - 3}{2x+1} > 0.

Passo 4

Analisamos o sinal de \dfrac{-2x-3}{2x+1}>0. Equivalente a
(-2x - 3)(2x + 1) > 0.
Expandindo e simplificando:
-4x^2 -8x -3 > 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 +8x +3 < 0.
O discriminante é
\Delta = 8^2 - 4\cdot4\cdot3 = 64 - 48 = 16,
com raízes
x = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2\cdot4} = \frac{-8 \pm 4}{8} \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac{3}{2},\;-\tfrac{1}{2}.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola 4x^2+8x+3 fica abaixo de zero no intervalo entre as raízes. Portanto a segunda inequação tem solução
-\tfrac{3}{2} < x < -\tfrac{1}{2},
excluindo x = -\tfrac{1}{2} que anula o denominador.

Passo 5

Agora intersectamos as soluções de cada inequação:
x > -\tfrac{4}{3} \quad\text{e}\quad -\tfrac{3}{2} < x < -\tfrac{1}{2}.
Em termos de números, -\tfrac{3}{2} = -1,5 e -\tfrac{4}{3}\approx -1,333. O trecho comum é
-\tfrac{4}{3} < x < -\tfrac{1}{2}.

Resposta

\boxed{x \in \bigl(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{1}{2}\bigr)}.

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