Resolva os sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{2 x+1}{5}<\frac{1}{5} x-\frac{1}{5} \\\ x^{2}-3 x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{2}-\frac{2x+1}{5}<\frac{1}{5}x-\frac{1}{5},\\[6pt] x^{2}-3x=0. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é: fatoração para resolver a equação e manipulação de inequação racional para resolver a desigualdade, seguido de intersecção das soluções obtidas.]

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação
x^{2}-3x=0.
Fatorando, temos
x(x-3)=0,
logo as raízes são
x=0\quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 3

Agora, resolvemos a inequação
\frac{x}{2}-\frac{2x+1}{5}<\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}.
Começamos colocando tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{x}{2}-\frac{2x+1}{5} =\frac{5x-(4x+2)}{10} =\frac{x-2}{10},
\frac{1}{5}x-\frac{1}{5} =\frac{2x-2}{10}.
Assim a desigualdade vira
\frac{x-2}{10}<\frac{2x-2}{10}.
Multiplicando ambos os lados por 10>0 (o que não altera o sentido), obtemos
x-2<2x-2 \quad\Longrightarrow\quad x>0.

Passo 4

A condição da equação dá x\in\{0,3\} e a inequação exige x>0. Fazendo a intersecção, sobram
\{0,3\}\,\cap\,(0,\infty)=\{3\}.

Resposta

\{3\}

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