Resolva os sistemas de inequações: \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{2 x+1}{5}<\frac{1}{5} x-\frac{1}{5} \\\ x^{2}-3 x=0\end{array}\right. Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{2}-\frac{2x+1}{5}<\frac{1}{5}x-\frac{1}{5},\\[6pt] x^{2}-3x=0. \end{cases} O conteúdo que vamos usar é: fatoração para resolver a equação e manipulação de inequação racional para resolver a desigualdade, seguido de intersecção das soluções obtidas.] Passo 2Primeiro, resolvemos a equação x^{2}-3x=0. Fatorando, temos x(x-3)=0, logo as raízes são x=0\quad\text{ou}\quad x=3. Passo 3Agora, resolvemos a inequação \frac{x}{2}-\frac{2x+1}{5}<\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}. Começamos colocando tudo sobre o mesmo denominador: \frac{x}{2}-\frac{2x+1}{5} =\frac{5x-(4x+2)}{10} =\frac{x-2}{10}, \frac{1}{5}x-\frac{1}{5} =\frac{2x-2}{10}. Assim a desigualdade vira \frac{x-2}{10}<\frac{2x-2}{10}. Multiplicando ambos os lados por 10>0 (o que não altera o sentido), obtemos x-2<2x-2 \quad\Longrightarrow\quad x>0. Passo 4A condição da equação dá x\in\{0,3\} e a inequação exige x>0. Fazendo a intersecção, sobram \{0,3\}\,\cap\,(0,\infty)=\{3\}. Resposta \{3\} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva os sistemas de inequações: \frac{1}{3}<\frac{x-3}{2} \leq 10 Resolva os sistemas de inequações: \left\{\begin{array}{l}\frac{2 x}{3}-\frac{1}{2} \leq 1-x \\\\ 1-\frac{x+1}{2} \leq 0\end{array}\right. Resolva os sistemas de inequações: \left\{\begin{array}{l}\frac{3 x+4}{4}>0 \\\ \frac{2 x-1}{2 x+1}>2\end{array}\right. Resolva os sistemas de inequações: \left\{\begin{array}{l}\frac{2 x-3}{-2}<0 \\\ \frac{5-x}{x+1}>0\end{array}\right.