Resolva os sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x}{3}-\frac{1}{2} \leq 1-x \\\\ 1-\frac{x+1}{2} \leq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de duas inequações lineares em x:
\begin{cases} \displaystyle \frac{2x}{3}-\frac{1}{2}\le 1 - x,\\[6pt] \displaystyle 1-\frac{x+1}{2}\le 0. \end{cases}
O conteúdo é resolução de inequações do 1º grau e, ao final, faremos a interseção dos conjuntos solução de cada uma.]

Passo 2

Resolver a primeira inequação
\frac{2x}{3}-\frac{1}{2}\le 1 - x.
Multiplicando ambos os lados por 6 (positivo, sem mudar o sinal):
6\!\bigl(\frac{2x}{3}\bigr)-6\!\bigl(\tfrac12\bigr)\le 6\cdot1 -6x \quad\Longrightarrow\quad 4x -3 \le 6 -6x.
Somando 6x e adicionando 3 em ambos os lados:
4x +6x \le 6 +3 \quad\Longrightarrow\quad 10x \le 9 \quad\Longrightarrow\quad x \le \frac{9}{10}.

Passo 3

Resolver a segunda inequação
1 - \frac{x+1}{2}\le 0.
Multiplicando ambos os lados por 2:
2 - (x+1)\le 0 \quad\Longrightarrow\quad 2 - x -1 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - x \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 1.

Passo 4

Fazer a interseção das soluções:
x \le \frac{9}{10} \quad\text{e}\quad x \ge 1.
Como não existe número que seja simultaneamente \le \tfrac{9}{10} e \ge 1, o sistema não admite solução.

Resposta

\emptyset (não há solução)

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