é possível? Caso afirmativo, ele é determinado ou indeterminado? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema homogêneo
D cdot X = 0000,
onde D é uma matriz de ordem 4times n e X é o vetor incógnita em R^n. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares homogêneos: sempre temos a solução trivial e a classificação em determinado (única solução) ou indeterminado (infinitas soluções) depende do posto da matriz.
Passo 2
Todo sistema homogêneo D X=0 é sempre possível, pois admite ao menos a solução trivialX=0. Logo, a consistência (possibilidade) está garantida independentemente de D.
Passo 3
Para saber se o sistema é determinado ou indeterminado, usamos o Teorema da Dimensão do Núcleo (Teorema do Núcleo–Imagem):
dim(ker D) = n - rank(D)
Se dim(ker D)=0, isto é, rank(D)=n, então ker D=0 e há exatamente uma solução (a trivial).
Se dim(ker D)>0, isto é, rank(D)<n, então ker D tem dimensão positiva e há infinitas soluções.
Passo 4
No caso especial em que D seja quadrada (n=4), a condição rank(D)=4 equivale a det(D)neq0. Então:
Se det(D)neq0, o sistema tem única solução X=0 (determinado).
Se det(D)=0, há infinitas soluções (indeterminado).
Resposta
Sim, o sistema é sempre possível (homogêneo admite X=0).
Ele é
– determinado se rank(D)=n (no caso quadrado, det(D)neq0),
– indeterminado se rank(D)<n (ou seja, det(D)=0 quando n=4).