7 - O sistema linear dado em forma matricial por
D cdot X=(l 0 0 0 0 )
é possível? Caso afirmativo, ele é determinado ou indeterminado? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo
D cdot X = 0000,
onde D é uma matriz de ordem 4times n e X é o vetor incógnita em R^n. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares homogêneos: sempre temos a solução trivial e a classificação em determinado (única solução) ou indeterminado (infinitas soluções) depende do posto da matriz.

Passo 2

Todo sistema homogêneo D X=0 é sempre possível, pois admite ao menos a solução trivial X=0. Logo, a consistência (possibilidade) está garantida independentemente de D.

Passo 3

Para saber se o sistema é determinado ou indeterminado, usamos o Teorema da Dimensão do Núcleo (Teorema do Núcleo–Imagem):
dim(ker D) = n - rank(D)
  • Se dim(ker D)=0, isto é, rank(D)=n, então ker D=0 e há exatamente uma solução (a trivial).
  • Se dim(ker D)>0, isto é, rank(D)<n, então ker D tem dimensão positiva e há infinitas soluções.

Passo 4

No caso especial em que D seja quadrada ( n=4), a condição rank(D)=4 equivale a det(D)neq0. Então:
  • Se det(D)neq0, o sistema tem única solução X=0 (determinado).
  • Se det(D)=0, há infinitas soluções (indeterminado).

Resposta

Sim, o sistema é sempre possível (homogêneo admite X=0).
Ele é
determinado se rank(D)=n (no caso quadrado, det(D)neq0),
indeterminado se rank(D)<n (ou seja, det(D)=0 quando n=4).

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