Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de Gauss ou eliminação de Gauss-Jordan:
lx1+2 x2+x3=0 3 x1+6 x2+3 x3+x4=0 2 x1+4 x2+2 x3+x4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Eliminação de Gauss. O que a gente tem aqui são três equações com quatro incógnitas: x1, x2, x3 e x4 . A ideia é manipular essas equações para encontrar valores para essas incógnitas ou expressá-las em termos umas das outras. Para isso, vamos montar a matriz aumentada do sistema e aplicar as técnicas de eliminação para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Cada linha representa uma equação e cada coluna, uma incógnita, com a última coluna sendo os termos constantes.
1 & 2 & 1 & 0 & | & 0 3 & 6 & 3 & 1 & | & 0 2 & 4 & 2 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o 1). Para isso, queremos zerar os elementos na primeira coluna das linhas 2 e 3.
  • Linha 2: Subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 2.
Linha 2 = Linha 2 - 3 times Linha 1
3 - 3(1) = 0, 6 - 3(2) = 0, 3 - 3(1) = 0, 1 - 3(0) = 1, 0 - 3(0) = 0
Então, a Linha 2 fica:
0 & 0 & 0 & 1 & | & 0
  • Linha 3: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 1
2 - 2(1) = 0, 4 - 2(2) = 0, 2 - 2(1) = 0, 1 - 2(0) = 1, 0 - 2(0) = 0
Então, a Linha 3 fica:
0 & 0 & 0 & 1 & | & 0
A matriz agora fica:
1 & 2 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 4

Observamos que a Linha 2 e a Linha 3 são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e não traz informação nova. Podemos simplificar apagando a Linha 3, deixando apenas:
1 & 2 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos interpretar essa matriz. A segunda linha nos dá:
0x1 + 0x2 + 0x3 + 1x4 = 0 implies x4 = 0
A primeira linha nos dá:
x1 + 2x2 + x3 = 0

Passo 6

Como temos quatro incógnitas e apenas duas equações independentes, podemos atribuir valores livres para duas das incógnitas. Vamos escolher x2 e x3 como variáveis livres. Isso significa que podemos expressar x1 em termos de x2 e x3 .
Da primeira equação:
x1 = -2x2 - x3
E já sabemos que x4 = 0 .

Resposta

As soluções do sistema são todas as combinações em que:
x1 = -2x2 - x3 x2 pode ser qualquer número real x3 pode ser qualquer número real x4 = 0 úú
Ou seja, o sistema tem infinitas soluções onde x2 e x3 são livres.

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