Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan:
lx1+x2-5 x4+2 x3-3=0 5 x2+2 x1-x3-9 x4=-3 2 x1+x2-x3+3 x4=-11 7 x4+x1-3 x2+2 x3+5=0

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares pra resolver usando a eliminação de Gauss-Jordan. O sistema é:
x1 + x2 + 2x3 - 5x4 = 3 2x1 + 5x2 - x3 - 9x4 = -3 2x1 + x2 - x3 + 3x4 = -11 x1 - 3x2 + 2x3 + 7x4 = -5
Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e aplicar a eliminação de Gauss-Jordan passo a passo pra encontrar os valores de x1, x2, x3 e x4.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada com os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 1 & 2 & -5 & | & 3 2 & 5 & -1 & -9 & | & -3 2 & 1 & -1 & 3 & | & -11 1 & -3 & 2 & 7 & | & -5

Passo 3

Agora, vamos eliminar o x1 das linhas abaixo da primeira. Para isso:
  • Linha 2 (L2): Subtraímos 2 vezes a Linha 1 (L1)
  • Linha 3 (L3): Subtraímos 2 vezes a Linha 1 (L1)
  • Linha 4 (L4): Subtraímos a Linha 1 (L1)
Realizando essas operações:
1 & 1 & 2 & -5 & | & 3 0 & 3 & -5 & 1 & | & -9 0 & -1 & -5 & 13 & | & -17 0 & -4 & 0 & 12 & | & -8

Passo 4

Agora, vamos focar no x2. Dividimos a Linha 2 (L2) por 3 para deixar o coeficiente de x2 igual a 1:
L2 div 3 L2 = [0, 1, -53, 13 | -3]
Em seguida, eliminamos x2 das outras linhas:
  • Linha 3 (L3): Adicionamos a Linha 2 (L2)
  • Linha 4 (L4): Adicionamos 4 vezes a Linha 2 (L2)
  • Linha 1 (L1): Subtraímos a Linha 2 (L2)
Após essas operações:
1 & 0 & 113 & -163 & | & -5 0 & 1 & -53 & 13 & | & -3 0 & 0 & -203 & 403 & | & -20 0 & 0 & -203 & 403 & | & -20

Passo 5

Observamos que as Linhas 3 e 4 são iguais, então podemos ignorar a Linha 4. Vamos agora eliminar o x3:
Dividimos a Linha 3 por -203 para deixar o coeficiente de x3 igual a 1:
L3 times (-320) L3 = [0, 0, 1, -2 | 3]
Em seguida, eliminamos x3 das outras linhas:
  • Linha 1 (L1): Subtraímos 113 vezes a Linha 3 (L3)
  • Linha 2 (L2): Adicionamos 53 vezes a Linha 3 (L3)
Após essas operações:
1 & 0 & 0 & 2 & | & -5 0 & 1 & 0 & -3 & | & 2 0 & 0 & 1 & -2 & | & 3 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Agora, temos o sistema já simplificado:
x1 + 2x4 = -5 x2 - 3x4 = 2 x3 - 2x4 = 3
Observamos que a variável x4 é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Vamos chamar x4 = t, onde t é um número real.
Substituindo x4 = t nas equações:
x1 = -5 - 2t x2 = 2 + 3t x3 = 3 + 2t x4 = t

Resposta

A solução geral do sistema é:
x1 = -5 - 2t x2 = 2 + 3t x3 = 3 + 2t x4 = t
onde t é um número real qualquer.

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