A segunda equação não contém y (coeficiente de y é 0).
O objetivo é encontrar os valores numéricos de x, y e z que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada — isso facilita aplicar operações elementares de linhas (o que chamamos de método de Gauss-Jordan). A matriz aumentada do sistema é
Explicando rápido (sem jargão complicado): cada linha representa uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o lado direito das equações. A estratégia é usar operações que trocam linhas, multiplicam uma linha por número não-nulo ou somam múltiplos de uma linha a outra para transformar a parte esquerda numa matriz identidade. Quando alcançarmos a identidade, a coluna da direita dará diretamente x,y,z.]
Passo 3
Primeiro objetivo: obter um 1 no pivô da primeira linha (posição correspondente a x) para facilitar eliminações. Faço \text{R}_1 \leftarrow \tfrac{1}{3}\text{R}_1. Isso significa dividir a primeira linha por 3.
Resultado:
Agora elimino o x das linhas 2 e 3 (quero zeros nas posições abaixo do pivô). Faço: \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 5\text{R}_1.
Cálculos (cada entrada da linha é subtraída pelo dobro/ quíntuplo da correspondente em \text{R}_1):
Para simplificar os cálculos seguintes, posso multiplicar \text{R}_2 e \text{R}_3 por 3 (operação permitida) para retirar denominadores: \text{R}_2 \leftarrow 3\text{R}_2, \text{R}_3 \leftarrow 3\text{R}_3.
Fica
Finalmente, faço o pivô na terceira linha: quero 1 na coluna de z. A entrada atual é -\tfrac{48}{5}, então divido \text{R}_3 por -\tfrac{48}{5}, que é multiplicar por -\tfrac{5}{48}: \text{R}_3 \leftarrow -\tfrac{5}{48}\text{R}_3.
Isso dá:
Estamos quase lá: com \text{R}_3 tendo z isolado em 1, eliminamos quaisquer coeficientes de z nas linhas acima para chegar à forma reduzida (identidade à esquerda). Precisamos zerar \tfrac{1}{2} em \text{R}_1 e -\tfrac{3}{10} em \text{R}_2.