Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{l}3 x+5 y=1 \\\\ 2 x+z=3 ; \\\\ 5 x+y-z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e pede que seja resolvido (usar o método pedido no enunciado):
\begin{cases} 3x+5y=1,\\[4pt] 2x+z=3,\\[4pt] 5x+y-z=0. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • São três equações com três incógnitas x,y,z.
  • A segunda equação não contém y (coeficiente de y é 0).
  • O objetivo é encontrar os valores numéricos de x, y e z que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada — isso facilita aplicar operações elementares de linhas (o que chamamos de método de Gauss-Jordan). A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 5 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right].
Explicando rápido (sem jargão complicado): cada linha representa uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o lado direito das equações. A estratégia é usar operações que trocam linhas, multiplicam uma linha por número não-nulo ou somam múltiplos de uma linha a outra para transformar a parte esquerda numa matriz identidade. Quando alcançarmos a identidade, a coluna da direita dará diretamente x,y,z.]

Passo 3

Primeiro objetivo: obter um 1 no pivô da primeira linha (posição correspondente a x) para facilitar eliminações. Faço \text{R}_1 \leftarrow \tfrac{1}{3}\text{R}_1. Isso significa dividir a primeira linha por 3.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{5}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[6pt] 2 & 0 & 1 & 3\\[6pt] 5 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora elimino o x das linhas 2 e 3 (quero zeros nas posições abaixo do pivô). Faço:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 5\text{R}_1.
Cálculos (cada entrada da linha é subtraída pelo dobro/ quíntuplo da correspondente em \text{R}_1):
\text{R}_2: \;[2,0,1,3]-2\cdot[1,\tfrac{5}{3},0,\tfrac{1}{3}]=[0,-\tfrac{10}{3},1,\tfrac{7}{3}],
\text{R}_3: \;[5,1,-1,0]-5\cdot[1,\tfrac{5}{3},0,\tfrac{1}{3}]=[0,-\tfrac{22}{3},-1,-\tfrac{5}{3}].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{5}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & -\tfrac{10}{3} & 1 & \tfrac{7}{3}\\[6pt] 0 & -\tfrac{22}{3} & -1 & -\tfrac{5}{3} \end{array}\right].]

Passo 5

Para simplificar os cálculos seguintes, posso multiplicar \text{R}_2 e \text{R}_3 por 3 (operação permitida) para retirar denominadores:
\text{R}_2 \leftarrow 3\text{R}_2, \text{R}_3 \leftarrow 3\text{R}_3.
Fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{5}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & -10 & 3 & 7\\[6pt] 0 & -22 & -3 & -5 \end{array}\right].
Obs.: multiplicar uma linha por 3 só escala a equação; segue sendo equivalente ao sistema original.]

Passo 6

Quero agora um pivô 1 na posição da segunda linha (coluna de y). Divido \text{R}_2 por -10:
\text{R}_2 \leftarrow -\tfrac{1}{10}\text{R}_2. Isso dá
\text{R}_2 = [0,1,-\tfrac{3}{10},-\tfrac{7}{10}].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{5}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{10} & -\tfrac{7}{10}\\[6pt] 0 & -22 & -3 & -5 \end{array}\right].
Explicação da ideia: ter um 1 na posição de pivô facilita zerar as outras entradas da coluna de y somando múltiplos desta linha às demais.]

Passo 7

Agora elimino y das linhas 1 e 3.
  • Para zerar o termo \tfrac{5}{3} em \text{R}_1, faço \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \tfrac{5}{3}\text{R}_2.
  • Para zerar -22 em \text{R}_3, faço \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 22\text{R}_2.
Calculos explícitos:
Para \text{R}_1:
[1,\tfrac{5}{3},0,\tfrac{1}{3}] - \tfrac{5}{3}\cdot[0,1,-\tfrac{3}{10},-\tfrac{7}{10}] = \bigl[1,0,\;0 - \tfrac{5}{3}\cdot(-\tfrac{3}{10}),\;\tfrac{1}{3}-\tfrac{5}{3}\cdot(-\tfrac{7}{10})\bigr].
Calculemos as entradas novas:
0 - \tfrac{5}{3}\cdot(-\tfrac{3}{10}) = \tfrac{5}{3}\cdot\tfrac{3}{10}=\tfrac{5}{10}=\tfrac{1}{2},
\tfrac{1}{3}-\tfrac{5}{3}\cdot(-\tfrac{7}{10})=\tfrac{1}{3}+\tfrac{35}{30}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{2}{6}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{9}{6}=\tfrac{3}{2}.
Logo \text{R}_1 vira [1,0,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}].
Para \text{R}_3:
[0,-22,-3,-5]+22\cdot[0,1,-\tfrac{3}{10},-\tfrac{7}{10}] =[0,0,\,-3+22\cdot(-\tfrac{3}{10}),\,-5+22\cdot(-\tfrac{7}{10})].
Calculemos:
-3+22\cdot(-\tfrac{3}{10}) = -3 - \tfrac{66}{10} = -3 - \tfrac{33}{5} = -\tfrac{15}{5}-\tfrac{33}{5} = -\tfrac{48}{5},
-5+22\cdot(-\tfrac{7}{10}) = -5 - \tfrac{154}{10} = -5 - \tfrac{77}{5} = -\tfrac{25}{5}-\tfrac{77}{5} = -\tfrac{102}{5}.
Portanto \text{R}_3 = [0,0,-\tfrac{48}{5},-\tfrac{102}{5}].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{10} & -\tfrac{7}{10}\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{48}{5} & -\tfrac{102}{5} \end{array}\right].]

Passo 8

Finalmente, faço o pivô na terceira linha: quero 1 na coluna de z. A entrada atual é -\tfrac{48}{5}, então divido \text{R}_3 por -\tfrac{48}{5}, que é multiplicar por -\tfrac{5}{48}:
\text{R}_3 \leftarrow -\tfrac{5}{48}\text{R}_3.
Isso dá:
\text{R}_3 = [0,0,1,\tfrac{17}{8}],
pois
-\tfrac{5}{48}\cdot\bigl(-\tfrac{48}{5}\bigr)=1,\qquad -\tfrac{5}{48}\cdot\bigl(-\tfrac{102}{5}\bigr)=\tfrac{102}{48}=\tfrac{17}{8}.
A matriz é agora
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{10} & -\tfrac{7}{10}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{17}{8} \end{array}\right].]

Passo 9

Estamos quase lá: com \text{R}_3 tendo z isolado em 1, eliminamos quaisquer coeficientes de z nas linhas acima para chegar à forma reduzida (identidade à esquerda). Precisamos zerar \tfrac{1}{2} em \text{R}_1 e -\tfrac{3}{10} em \text{R}_2.
Faço:
\text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \tfrac{1}{2}\text{R}_3,
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + \tfrac{3}{10}\text{R}_3.
Calculemos:
Para \text{R}_1:
[1,0,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}] - \tfrac{1}{2}\cdot[0,0,1,\tfrac{17}{8}] = [1,0,0,\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{17}{8}].
\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{17}{8} = \tfrac{3}{2}-\tfrac{17}{16}=\tfrac{24}{16}-\tfrac{17}{16}=\tfrac{7}{16}.
Portanto \text{R}_1=[1,0,0,\tfrac{7}{16}].
Para \text{R}_2:
[0,1,-\tfrac{3}{10},-\tfrac{7}{10}] + \tfrac{3}{10}\cdot[0,0,1,\tfrac{17}{8}] = [0,1,0,-\tfrac{7}{10}+\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac{17}{8}].
-\tfrac{7}{10}+\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac{17}{8} = -\tfrac{7}{10}+\tfrac{51}{80} = -\tfrac{56}{80}+\tfrac{51}{80} = -\tfrac{5}{80} = -\tfrac{1}{16}.
Logo \text{R}_2=[0,1,0,-\tfrac{1}{16}].
Matriz final (forma reduzida por linhas) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{7}{16}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{16}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{17}{8} \end{array}\right].]

Passo 10

Interpretando a matriz na forma reduzida: as três linhas representam, respectivamente,
x=\tfrac{7}{16},\qquad y=-\tfrac{1}{16},\qquad z=\tfrac{17}{8}.
Sempre é bom checar rapidamente substituindo no sistema original (opcional): colocar esses valores nas equações confirma que todas são satisfeitas.

Resposta

x=\dfrac{7}{16}
y=-\dfrac{1}{16}
z=\dfrac{17}{8}

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