Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} t+x+y+z & =0 \\\\ -t+x+3 y+z & =4 \\\ t+x+y-z & =-4 \\\ t+x-2 y+z & =23\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando o Método de Gauss-Jordan. O sistema dado é
\begin{cases} t+x+y+z = 0,\\[4pt] -t+x+3y+z = 4,\\[4pt] t+x+y-z = -4,\\[4pt] t+x-2y+z = 23. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • São quatro equações lineares em quatro incógnitas t,x,y,z.
  • O objetivo é encontrar os valores numéricos de t,x,y,z que satisfaçam todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve explicação didática do Método de Gauss-Jordan (sem pular etapas):
  • Representa-se o sistema como matriz ampliada (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes).
  • Usa-se operações elementares sobre linhas (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por escalar não nulo; somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz numa forma reduzida por linhas (reduced row-echelon form), onde cada linha tem um pivô 1 e os pivôs são os únicos elementos não nulos em suas colunas.
  • Uma vez em forma reduzida por linhas, lê-se diretamente os valores das incógnitas (cada pivô 1 corresponde a uma variável isolada).
  • Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.

Passo 3

Montar a matriz ampliada do sistema com as colunas na ordem (t,x,y,z) e a coluna de termos à direita:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 3 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1 & -4\\[4pt] 1 & 1 & -2 & 1 & 23 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeiro pivot: usar a primeira linha ( R_1) que já tem 1 em \,t.
Eliminação das entradas da coluna t nas linhas R_2,R_3,R_4:
  • R_2 := R_2 + R_1. Cálculo componente a componente: (-1)+1=0,\quad 1+1=2,\quad 3+1=4,\quad 1+1=2,\quad 4+0=4.Resultado R_2 = [0\\\ 2\\\ 4\\\ 2\mid 4].
  • R_3 := R_3 - R_1. Cálculo: 1-1=0,\quad 1-1=0,\quad 1-1=0,\quad -1-1=-2,\quad -4-0=-4.Resultado R_3 = [0\\\ 0\\\ 0\\\ -2\mid -4].
  • R_4 := R_4 - R_1. Cálculo: 1-1=0,\quad 1-1=0,\quad -2-1=-3,\quad 1-1=0,\quad 23-0=23.Resultado R_4 = [0\\\ 0\\\ -3\\\ 0\mid 23].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 4 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 0 & 23 \end{array}\right].]

Passo 5

Segundo pivot: escolher R_2 na coluna x (valor 2). Normalizar R_2 dividindo por 2:
R_2 := \tfrac{1}{2}R_2 \implies R_2 = [0\\\ 1\\\ 2\\\ 1\mid 2].
Eliminar a entrada em x na linha R_1:
  • R_1 := R_1 - R_2. Cálculo, 1-0=1,\quad 1-1=0,\quad 1-2=-1,\quad 1-1=0,\quad 0-2=-2.Resultado R_1 = [1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\mid -2].
Linhas R_3,R_4 já têm zero na coluna x. Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 0 & 23 \end{array}\right].]

Passo 6

Terceiro pivot: queremos pivot em coluna y. Observa-se que R_3 tem zero em y e R_4 tem -3 em y. Trocar R_3 e R_4 para trazer o pivô para a linha 3:
\text{troca } R_3 \leftrightarrow R_4.
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 0 & 23\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -4 \end{array}\right].
Normalizar R_3 dividindo por -3:
R_3 := -\tfrac{1}{3}R_3 \implies R_3 = [0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\mid -\tfrac{23}{3}].
Eliminar as entradas na coluna y em R_1 e R_2:
  • R_1 tem -1 em y, então R_1 := R_1 + R_3. Cálculo do termo independente: -2 + \left(-\tfrac{23}{3}\right) = -\tfrac{6}{3}-\tfrac{23}{3} = -\tfrac{29}{3}.Resultado R_1 = [1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid -\tfrac{29}{3}].
  • R_2 tem 2 em y, então R_2 := R_2 - 2R_3. Cálculo do termo independente: 2 - 2\left(-\tfrac{23}{3}\right) = 2 + \tfrac{46}{3} = \tfrac{6}{3}+\tfrac{46}{3} = \tfrac{52}{3}.Resultado R_2 = [0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\mid \tfrac{52}{3}].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{29}{3}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 1 & \tfrac{52}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{23}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -4 \end{array}\right].]

Passo 7

Quarto pivot: coluna z — usar R_4 que tem -2 em z. Normalizar R_4 dividindo por -2:
R_4 := -\tfrac{1}{2}R_4 \implies R_4 = [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\mid 2].
Eliminar a entrada em z na linha R_2 (que é 1):
  • R_2 := R_2 - R_4. Cálculo do termo independente: \tfrac{52}{3} - 2 = \tfrac{52}{3} - \tfrac{6}{3} = \tfrac{46}{3}.Resultado R_2 = [0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\mid \tfrac{46}{3}].
As linhas R_1,R_3 já têm zero em z. A matriz está agora na forma reduzida por linhas:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{29}{3}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{46}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{23}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 8

Ler a solução diretamente da matriz reduzida (cada linha dá uma variável isolada):
t = -\tfrac{29}{3},\qquad x = \tfrac{46}{3},\qquad y = -\tfrac{23}{3},\qquad z = 2.

Passo 9

Verificação rápida (substituir na primeira equação para checar consistência):
  • Primeira equação t+x+y+z = 0. Substituindo: -\tfrac{29}{3} + \tfrac{46}{3} + \left(-\tfrac{23}{3}\right) + 2 = \left(-\tfrac{29}{3}+\tfrac{46}{3}-\tfrac{23}{3}\right)+2 = \tfrac{-29+46-23}{3}+2 = \tfrac{-6}{3}+2 = -2+2 = 0.
Isso confirma pelo menos a primeira equação; os demais cheques seguem análogos e a redução por Gauss-Jordan garante consistência global.

Resposta

t = -\dfrac{29}{3}
x = \dfrac{46}{3}
y = -\dfrac{23}{3}
z = 2

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