Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} 2 x-y+3 z & =11 \\\\ 4 x-3 y+2 z & =6 \\\ x+y+z & =0 \\\\ 3 x+y+z & =4\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\left\{\begin{aligned} 2x-y+3z &=11\\[4pt] 4x-3y+2z &=6\\[4pt] x+y+z &=0\\[4pt] 3x+y+z &=4 \end{aligned}\right.
As incógnitas são x, y e z. O objetivo é encontrar valores de x,y,z que satisfaçam todas as quatro equações simultaneamente (ou concluir que não existe solução).]

Passo 2

Breve lembrete sobre o Método de Gauss-Jordan (explicação para usar na prova).
  • Trabalha-se com a matriz aumentada do sistema e aplica-se apenas três tipos de operações elementares sobre linhas:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo é reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida), idealmente com a identidade 3\times3 à esquerda e a coluna dos termos independentes à direita. Se surgir uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid b] com b\neq0, o sistema é inconsistente (sem solução).
Vou montar a matriz aumentada e aplicar Gauss-Jordan passo a passo, mostrando cada operação.

Passo 3

Matriz aumentada inicial (pegando os coeficientes e o termo independente de cada equação):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 6\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right]
Para facilitar os cálculos, troco a primeira linha com a terceira (assim o pivô inicial fica 1):
R_1 \leftrightarrow R_3
Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 6\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação da coluna x (zerar as entradas abaixo do pivô 1 na primeira coluna).
  • R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1
Cálculos:
  • R_2 = [4,-3,2\mid6] - 4\cdot[1,1,1\mid0] = [0,-7,-2\mid6]
  • R_3 = [2,-1,3\mid11] - 2\cdot[1,1,1\mid0] = [0,-3,1\mid11]
  • R_4 = [3,1,1\mid4] - 3\cdot[1,1,1\mid0] = [0,-2,-2\mid4]
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -7 & -2 & 6\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 11\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 5

Pivot na segunda coluna: escolho a linha 2 cujo elemento é -7. Vou dividir a linha 2 por -7 para obter pivô 1:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-7}R_2
Resultado:
R_2 = \left[0,\,1,\,\tfrac{2}{7}\,\Big|\, -\tfrac{6}{7}\right]
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & -\tfrac{6}{7}\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 11\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminação da coluna y nas outras linhas usando R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (para zerar o 1 em R_1, coluna y)
  • R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2 (porque R_3 tem -3)
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2 (porque R_4 tem -2)
Cálculos:
  • R_1 = [1,1,1\mid0] - [0,1,\tfrac{2}{7}\mid -\tfrac{6}{7}] = [1,0,1-\tfrac{2}{7}\mid 0+\tfrac{6}{7}] = [1,0,\tfrac{5}{7}\mid \tfrac{6}{7}]
  • R_3 = [0,-3,1\mid11] + 3\cdot[0,1,\tfrac{2}{7}\mid -\tfrac{6}{7}] = [0,0,1+\tfrac{6}{7}\mid 11-\tfrac{18}{7}] = [0,0,\tfrac{13}{7}\mid \tfrac{59}{7}]
  • R_4 = [0,-2,-2\mid4] + 2\cdot[0,1,\tfrac{2}{7}\mid -\tfrac{6}{7}] = [0,0,-2+\tfrac{4}{7}\mid 4-\tfrac{12}{7}] = [0,0,-\tfrac{10}{7}\mid \tfrac{16}{7}]
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{5}{7} & \tfrac{6}{7}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & -\tfrac{6}{7}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{13}{7} & \tfrac{59}{7}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{10}{7} & \tfrac{16}{7} \end{array}\right]]

Passo 7

Pivot na terceira coluna: a linha 3 tem \tfrac{13}{7}. Normalizo essa linha para pivô 1 multiplicando por \tfrac{7}{13}:
R_3 \leftarrow \frac{7}{13}R_3
Resultado:
R_3 = \left[0,\,0,\,1\,\Big|\,\tfrac{59}{13}\right]
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{5}{7} & \tfrac{6}{7}\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & -\tfrac{6}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{59}{13}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{10}{7} & \tfrac{16}{7} \end{array}\right]]

Passo 8

Eliminação da coluna z nas outras linhas usando R_3:
  • R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{5}{7}R_3
  • R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{2}{7}R_3
  • R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{10}{7}R_3 (porque R_4 tem -\tfrac{10}{7})
Cálculos (mostrando os resultados):
  • R_1 fica [1,0,0\mid \tfrac{6}{7} - \tfrac{5}{7}\cdot\tfrac{59}{13}] = [1,0,0\mid -\tfrac{31}{13}].
    (Cálculo: \tfrac{6}{7} - \tfrac{295}{91} = \tfrac{78-295}{91} = -\tfrac{217}{91} = -\tfrac{31}{13}.)
  • R_2 fica [0,1,0\mid -\tfrac{6}{7} - \tfrac{2}{7}\cdot\tfrac{59}{13}] = [0,1,0\mid -\tfrac{28}{13}].
    (Cálculo: -\tfrac{6}{7} - \tfrac{118}{91} = -\tfrac{196}{91} = -\tfrac{28}{13}.)
  • R_4 fica [0,0,0\mid \tfrac{16}{7} + \tfrac{10}{7}\cdot\tfrac{59}{13}] = [0,0,0\mid \tfrac{114}{13}].
    (Cálculo: \tfrac{16}{7} + \tfrac{590}{91} = \tfrac{798}{91} = \tfrac{114}{13}.)
Matriz final obtida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{31}{13}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{28}{13}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{59}{13}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{114}{13} \end{array}\right]]

Passo 9

Interpretação do resultado: a última linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = \tfrac{114}{13},
isto é, 0 = \tfrac{114}{13}, o que é uma contradição (pois \tfrac{114}{13}\neq0). Isso significa que o sistema é inconsistente: não existe tripla (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as quatro equações. Portanto o sistema não tem solução.

Resposta

Sistema incompatível — não há solução.

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