Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan. \left\{\begin{aligned} x+3 y & =-4 \\\\ 2 x+5 y & =-8 ; \\\ x+3 y & =-5\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear usando o Método de Gauss-Jordan. As equações dadas são:
Pequena explicação didática do método de Gauss-Jordan (o que dá para usar e qual é o objetivo):
Operações elementares permitidas em linhas: trocar duas linhas; multiplicar uma linha por número não nulo; somar a um linha um múltiplo escalar de outra linha.
Objetivo: transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas (pivôs iguais a 1 e zeros em todas as outras entradas das colunas de pivô), ou ao menos chegar a uma forma onde se veja claramente se há solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
No processo, se surgir uma linha do tipo \left[0\\\ 0\mid c\right] com c\neq0, isto representa a equação 0= c (contradição), o que significa que o sistema não tem solução.
Passo 4
Começamos eliminando abaixo do primeiro pivô (primeira coluna). Usamos as operações:
Interpretação da terceira linha da matriz resultante: ela representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y = -1,
ou seja
0 = -1.
Isto é uma contradição lógica: não existe nenhum par (x,y) que satisfaça 0=-1.
Passo 7
Conclusão lógica (o porquê disso implicar ausência de solução): uma linha da forma \left[0\\\ 0\mid c\right] com c\neq0 significa que o sistema pede que 0 seja igual a um número diferente de zero, o que é impossível. Portanto o sistema é inconsistente e não admite solução.
Passo 8
Verificação rápida e intuitiva direto das equações originais: as equações (1) e (3) são
x+3y=-4 \quad\text{e}\quad x+3y=-5.
Essas duas afirmativas não podem ser verdadeiras simultaneamente, pois implicariam -4=-5. Isso confirma a inconsistência encontrada via eliminação.