Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} x+3 y & =-4 \\\\ 2 x+5 y & =-8 ; \\\ x+3 y & =-5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando o Método de Gauss-Jordan. As equações dadas são:
\begin{aligned} & (1)\quad x+3y=-4,\\\ & (2)\quad 2x+5y=-8,\\\ & (3)\quad x+3y=-5. \end{aligned}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há três equações envolvendo as duas incógnitas x e y.
  • As equações (1) e (3) têm o mesmo lado esquerdo x+3y mas lados direitos diferentes ( -4 e -5), o que já chama atenção.
  • O método pedido é Gauss-Jordan (redução por linhas até forma reduzida por linhas).

Passo 2

Formulemos a matriz aumentada do sistema: colocamos os coeficientes de x e y e a coluna dos termos independentes. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & -4\\[4pt] 2 & 5 & -8\\[4pt] 1 & 3 & -5 \end{array}\right].]

Passo 3

Pequena explicação didática do método de Gauss-Jordan (o que dá para usar e qual é o objetivo):
  • Operações elementares permitidas em linhas: trocar duas linhas; multiplicar uma linha por número não nulo; somar a um linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas (pivôs iguais a 1 e zeros em todas as outras entradas das colunas de pivô), ou ao menos chegar a uma forma onde se veja claramente se há solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
  • No processo, se surgir uma linha do tipo \left[0\\\ 0\mid c\right] com c\neq0, isto representa a equação 0= c (contradição), o que significa que o sistema não tem solução.

Passo 4

Começamos eliminando abaixo do primeiro pivô (primeira coluna). Usamos as operações:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1,\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1.
Calculemos cada atualização:
Para \text{R}_2 - 2\text{R}_1:
\begin{aligned} &\text{coef. de }x:\; 2 - 2\cdot 1 = 0,\\\ &\text{coef. de }y:\; 5 - 2\cdot 3 = 5 - 6 = -1,\\\ &\text{termo independente}:\; -8 - 2\cdot(-4) = -8 + 8 = 0. \end{aligned}
Logo \text{R}_2 vira \left[0\\\ -1\\ \mid\\\ 0\right].
Para \text{R}_3 - \text{R}_1:
\begin{aligned} &\text{coef. de }x:\; 1 - 1 = 0,\\\ &\text{coef. de }y:\; 3 - 3 = 0,\\\ &\text{termo independente}:\; -5 - (-4) = -5 + 4 = -1. \end{aligned}
Logo \text{R}_3 vira \left[0\\\ 0\\ \mid\\\ -1\right].

Passo 5

Depois dessas operações a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & -4\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação da terceira linha da matriz resultante: ela representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y = -1,
ou seja
0 = -1.
Isto é uma contradição lógica: não existe nenhum par (x,y) que satisfaça 0=-1.

Passo 7

Conclusão lógica (o porquê disso implicar ausência de solução): uma linha da forma \left[0\\\ 0\mid c\right] com c\neq0 significa que o sistema pede que 0 seja igual a um número diferente de zero, o que é impossível. Portanto o sistema é inconsistente e não admite solução.

Passo 8

Verificação rápida e intuitiva direto das equações originais: as equações (1) e (3) são
x+3y=-4 \quad\text{e}\quad x+3y=-5.
Essas duas afirmativas não podem ser verdadeiras simultaneamente, pois implicariam -4=-5. Isso confirma a inconsistência encontrada via eliminação.

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

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