Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método da eliminação.
\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+4 z=-12 \\\ x-2 y+z=-5 \\\\ 3 x+y+2 z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x - 3y + 4z = -12,\\\ x - 2y + z = -5,\\\\ 3x + y + 2z = 1 \end{cases}
usando o método da eliminação de variáveis. Vamos eliminar primeiro x, obter um sistema em y,z, depois resolver e retornar a x.

Passo 2

Eliminamos x combinando adequadamente as equações:
Multiplicamos a segunda equação por -2 e somamos à primeira:
-2(x - 2y + z) = -2(-5)\;\Longrightarrow\;-2x +4y -2z = 10
(2x -3y +4z)+(-2x +4y -2z)= -12 +10 \;\Longrightarrow\;y +2z = -2
Chamemos isso de ( 4).
Agora multiplicamos a segunda por -3 e somamos à terceira:
-3(x -2y +z) = -3(-5)\;\Longrightarrow\;-3x +6y -3z = 15
(3x +y +2z)+(-3x +6y -3z)= 1+15 \;\Longrightarrow\;7y - z = 16
Chamemos isso de ( 5).
Assim obtemos o sistema em y,z:
\begin{cases} y +2z = -2,\\\\ 7y - z = 16. \end{cases}

Passo 3

Resolvemos o sistema de duas equações. De ( 4):
y = -2 - 2z.
Substituindo em ( 5):
7(-2 -2z) - z = 16 \;\Longrightarrow\;-14 -14z - z = 16 \;\Longrightarrow\;-15z = 30 \;\Longrightarrow\;z = -2.
Então
y = -2 - 2(-2) = -2 +4 = 2.

Passo 4

Voltamos a uma das equações originais (e.g.\ a segunda) para achar x:
x - 2y + z = -5 \;\Longrightarrow\; x - 2(2) + (-2) = -5 \;\Longrightarrow\; x - 4 - 2 = -5 \;\Longrightarrow\; x - 6 = -5 \;\Longrightarrow\; x = 1.

Resposta

(x,y,z) = (1, 2, -2)

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