Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método da eliminação.
\left\{\begin{array}{l}2 x+4 y+6 z=-12 \\\\ 2 x-3 y-4 z=15 \\\\ 3 x+4 y+5 z=-8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x + 4y + 6z = -12,\\\\ 2x - 3y - 4z = 15,\\\\ 3x + 4y + 5z = -8, \end{cases}
e pede a solução por eliminação, isto é, vamos combinar equações para anular x e obter um sistema em y e z.

Passo 2

Para eliminar x entre a primeira e a segunda equação, subtraímos a segunda da primeira:
(2x + 4y + 6z) - (2x - 3y - 4z) = -12 - 15
7y + 10z = -27.
Chamemos esta equação de (4).

Passo 3

Para eliminar x entre a primeira e a terceira, igualamos coeficientes de x multiplicando a primeira por 3 e a terceira por 2, e depois subtraímos:
3\cdot(2x + 4y + 6z) = -36, \quad 2\cdot(3x + 4y + 5z) = -16,
(6x + 12y + 18z) - (6x + 8y + 10z) = -36 - (-16)
4y + 8z = -20.
Chamemos esta equação de (5).

Passo 4

Agora resolvemos o sistema de duas equações em y,z\): \[\begin{cases} 7y + 10z = -27,\\\\ 4y + 8z = -20. \end{cases}
Multiplicando a segunda por 7 e a primeira por 4 para eliminar y\]: \[28y + 56z = -140, \quad 28y + 40z = -108,\] subtraindo: \[16z = -32 \quad\Longrightarrow\quad z = -2.\] Substituindo em \(4y + 8z = -20:
4y + 8(-2) = -20 \quad\Longrightarrow\quad 4y - 16 = -20 \quad\Longrightarrow\quad y = -1.

Passo 5

Com y=-1 e z=-2, voltamos à primeira equação para achar x:
2x + 4(-1) + 6(-2) = -12 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 4 - 12 = -12 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Resposta

x = 2,\;y = -1,\;z = -2.

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