Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais.
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & =7, \\\\ -2 x_{1}+11 x_{2}-x_{3} & =6, \\\\ 3 x_{1}-x_{2}+10 x_{3} & =5 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por Gauss–Seidel o sistema
\begin{cases} 10x_{1}-x_{2}+2x_{3}=7,\\\\ -2x_{1}+11x_{2}-x_{3}=6,\\\\ 3x_{1}-x_{2}+10x_{3}=5, \end{cases}
verificando a convergência e executando ao menos quatro iterações a partir de x^{(0)}=(0,0,0), arredondando cada elemento a quatro casas decimais. O conteúdo é o método iterativo de Gauss–Seidel e a condição de convergência via dominância diagonal.

Passo 2

Para convergência pelo critério de dominância diagonal, cada coeficiente diagonal deve satisfazer
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
No sistema dado temos
|10| > |{-1}| + |2| = 3,\quad |11| > |{-2}| + |{-1}|=3,\quad |10| > |3| + |{-1}|=4,
logo a matriz é estritamente diagonal dominante e o método converge.

Passo 3

Isolamos cada incógnita para montar o esquema de iteração. As fórmulas de Gauss–Seidel são:
x_{1} = \frac{7 + x_{2} - 2x_{3}}{10}
x_{2} = \frac{6 + 2x_{1} + x_{3}}{11}
x_{3} = \frac{5 - 3x_{1} + x_{2}}{10}
onde em cada iteração usamos imediatamente os valores mais recentes de x_{1},x_{2},x_{3}.

Passo 4

Iteração 1 a partir de x^{(0)}=(0,0,0):
x_{1}^{(1)} =\frac{7 + 0 - 2\cdot0}{10}=0{,}7000
x_{2}^{(1)} =\frac{6 + 2\cdot0{,}7000 + 0}{11}=\frac{7{,}4000}{11}=0{,}6727
x_{3}^{(1)} =\frac{5 - 3\cdot0{,}7000 + 0{,}6727}{10}=\frac{3{,}5727}{10}=0{,}3573
Logo
x^{(1)}=(0{,}7000,\;0{,}6727,\;0{,}3573).

Passo 5

Iteração 2:
x_{1}^{(2)} =\frac{7 + 0{,}6727 - 2\cdot0{,}3573}{10}=\frac{6{,}9581}{10}=0{,}6958
x_{2}^{(2)} =\frac{6 + 2\cdot0{,}6958 + 0{,}3573}{11}=\frac{7{,}7489}{11}=0{,}7044
x_{3}^{(2)} =\frac{5 - 3\cdot0{,}6958 + 0{,}7044}{10}=\frac{3{,}6170}{10}=0{,}3617
Logo
x^{(2)}=(0{,}6958,\;0{,}7044,\;0{,}3617).

Passo 6

Iteração 3:
x_{1}^{(3)} =\frac{7 + 0{,}7044 - 2\cdot0{,}3617}{10}=\frac{6{,}9810}{10}=0{,}6981
x_{2}^{(3)} =\frac{6 + 2\cdot0{,}6981 + 0{,}3617}{11}=\frac{7{,}7579}{11}=0{,}7053
x_{3}^{(3)} =\frac{5 - 3\cdot0{,}6981 + 0{,}7053}{10}=\frac{3{,}6110}{10}=0{,}3611
Logo
x^{(3)}=(0{,}6981,\;0{,}7053,\;0{,}3611).

Passo 7

Iteração 4:
x_{1}^{(4)} =\frac{7 + 0{,}7053 - 2\cdot0{,}3611}{10}=\frac{6{,}9831}{10}=0{,}6983
x_{2}^{(4)} =\frac{6 + 2\cdot0{,}6983 + 0{,}3611}{11}=\frac{7{,}7577}{11}=0{,}7052
x_{3}^{(4)} =\frac{5 - 3\cdot0{,}6983 + 0{,}7052}{10}=\frac{3{,}6103}{10}=0{,}3610
Logo
x^{(4)}=(0{,}6983,\;0{,}7052,\;0{,}3610).

Resposta

Após quatro iterações de Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0) e arredondamento a quatro casas decimais, obtém-se:
x^{(1)}=(0{,}7000,\;0{,}6727,\;0{,}3573), \quad x^{(2)}=(0{,}6958,\;0{,}7044,\;0{,}3617),
x^{(3)}=(0{,}6981,\;0{,}7053,\;0{,}3611), \quad x^{(4)}=(0{,}6983,\;0{,}7052,\;0{,}3610).

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