Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{r}4 x_{1}-x_{2}+x_{3}=5, \\\\ -1 x_{1}+6 x_{2}-x_{3}=-2, \\\ x_{1}+x_{2}+7 x_{3}=9 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}-x_{2}+x_{3}=5,\\\\ -\,x_{1}+6x_{2}-x_{3}=-2,\\\ x_{1}+x_{2}+7x_{3}=9 \end{cases}
usando o método iterativo de Gauss–Seidel com aproximação inicial \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0) e 4 casas decimais. O conteúdo é iteração linear e precisamos verificar a convergência e escrever as fórmulas iterativas.

Passo 2

Para garantir convergência do Gauss–Seidel basta checar dominância diagonal estrita. Nas três linhas do sistema temos:
linha 1: |4|>|-1|+|1|=2,
linha 2: |6|>|-1|+|1|=2,
linha 3: |7|>|1|+|1|=2.
Como cada coeficiente diagonal domina a soma dos demais na mesma linha, o método converge.

Passo 3

Isolando em cada equação o respectivo x_i e usando valores já atualizados de Gauss–Seidel, obtemos as fórmulas
x_{1}^{(k+1)}=\frac{5 + x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}}{4},
x_{2}^{(k+1)}=\frac{-2 + x_{1}^{(k+1)} + x_{3}^{(k)}}{6},
x_{3}^{(k+1)}=\frac{9 - x_{1}^{(k+1)} - x_{2}^{(k+1)}}{7}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas para k=0,1,2,3 com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0) e arredondando a 4 casas:
Para k=0\to1:
x_{1}^{(1)}=\frac{5+0-0}{4}=1,2500,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{-2+1,2500+0}{6}=-0,1250,\quad x_{3}^{(1)}=\frac{9-1,2500-(-0,1250)}{7}=1,1250.
Para k=1\to2:
x_{1}^{(2)}=\frac{5+(-0,1250)-1,1250}{4}=0,9375,\quad x_{2}^{(2)}=\frac{-2+0,9375+1,1250}{6}=0,0104,\quad x_{3}^{(2)}=\frac{9-0,9375-0,0104}{7}=1,1503.
Para k=2\to3:
x_{1}^{(3)}=\frac{5+0,0104-1,1503}{4}=0,9650,\quad x_{2}^{(3)}=\frac{-2+0,9650+1,1503}{6}=0,0192,\quad x_{3}^{(3)}=\frac{9-0,9650-0,0192}{7}=1,1451.
Para k=3\to4:
x_{1}^{(4)}=\frac{5+0,0192-1,1451}{4}=0,9685,\quad x_{2}^{(4)}=\frac{-2+0,9685+1,1451}{6}=0,0189,\quad x_{3}^{(4)}=\frac{9-0,9685-0,0189}{7}=1,1446.

Passo 5

Após quatro iterações, a aproximação final é
x_{1}\approx0,9685,\quad x_{2}\approx0,0189,\quad x_{3}\approx1,1446.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})\approx(0,9685,\;0,0189,\;1,1446)

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