Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{r}7 x_{1}+x_{2}-x_{3}=9, \\\\ 2 x_{1}+8 x_{2}+x_{3}=13, \\\\ -1 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=10 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 7x_{1}+x_{2}-x_{3}=9,\\\\ 2x_{1}+8x_{2}+x_{3}=13,\\\\ -\,x_{1}+x_{2}+6x_{3}=10 \end{cases}
e pede para usar o método de Gauss–Seidel com aproximação inicial (x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0})=(0,0,0) e realizar ao menos 4 iterações. O conteúdo é método iterativo para sistemas lineares e precisamos antes verificar a condição de convergência.

Passo 2

Verificamos a dominância das diagonais pela linha:
linha 1: \lvert7\rvert vs \lvert1\rvert+\lvert{-1}\rvert=2, logo 7>2.
linha 2: \lvert8\rvert vs \lvert2\rvert+\lvert1\rvert=3, logo 8>3.
linha 3: \lvert6\rvert vs \lvert{-1}\rvert+\lvert1\rvert=2, logo 6>2.
Como cada linha é estritamente diagonal dominante, o método converge.

Passo 3

As fórmulas de Gauss–Seidel são, para k\ge0:
x_{1}^{k+1}=\frac{1}{7}\bigl(9 - x_{2}^{k} + x_{3}^{k}\bigr),
x_{2}^{k+1}=\frac{1}{8}\bigl(13 - 2x_{1}^{k+1} - x_{3}^{k}\bigr),
x_{3}^{k+1}=\frac{1}{6}\bigl(10 + x_{1}^{k+1} - x_{2}^{k+1}\bigr).

Passo 4

Iteração k=0\to1 com (x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0})=(0,0,0):
x_{1}^{1}=\frac{1}{7}(9-0+0)=1,2857,\quad x_{2}^{1}=\frac{1}{8}(13-2\cdot1,2857-0)=1,3036,\quad x_{3}^{1}=\frac{1}{6}(10+1,2857-1,3036)=1,6637.

Passo 5

Iteração k=1\to2:
x_{1}^{2}=\frac{1}{7}\bigl(9-1,3036+1,6637\bigr)=1,3372,
x_{2}^{2}=\frac{1}{8}\bigl(13-2\cdot1,3372-1,6637\bigr)=1,0827,
x_{3}^{2}=\frac{1}{6}\bigl(10+1,3372-1,0827\bigr)=1,7091.

Passo 6

Iteração k=2\to3:
x_{1}^{3}=\frac{1}{7}\bigl(9-1,0827+1,7091\bigr)=1,3752,
x_{2}^{3}=\frac{1}{8}\bigl(13-2\cdot1,3752-1,7091\bigr)=1,0676,
x_{3}^{3}=\frac{1}{6}\bigl(10+1,3752-1,0676\bigr)=1,7179.

Passo 7

Iteração k=3\to4:
x_{1}^{4}=\frac{1}{7}\bigl(9-1,0676+1,7179\bigr)=1,3786,
x_{2}^{4}=\frac{1}{8}\bigl(13-2\cdot1,3786-1,7179\bigr)=1,0656,
x_{3}^{4}=\frac{1}{6}\bigl(10+1,3786-1,0656\bigr)=1,7188.

Resposta

Após 4 iterações de Gauss–Seidel, a aproximação é
x_{1}\approx1,3786,\quad x_{2}\approx1,0656,\quad x_{3}\approx1,7188.

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