Resolva os sistemas lineares por eliminação de Gauss e depois por eliminação de Gauss-Jordan.
(a) I1+I2+2 I3 & =8 -I1-2 I2+3 I3 & =1 3 I1-7 I2+4 I3 & =10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando os métodos de Eliminação de Gauss e Gauss-Jordan. Basicamente, estamos trabalhando com álgebra linear aqui, onde queremos encontrar os valores de I1, I2 e I3 que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos manipular as equações de forma a simplificar e isolar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes juntos em uma tabela. Nosso sistema é:
I1 + I2 + 2 I3 = 8 - I1 - 2 I2 + 3 I3 = 1 3 I1 - 7 I2 + 4 I3 = 10
A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 2 & | & 8 -1 & -2 & 3 & | & 1 3 & -7 & 4 & | & 10

Passo 3

Vamos começar a Eliminação de Gauss. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo e da esquerda para a direita) temos zeros.
Primeiro, usamos a primeira equação para eliminar o I1 das outras equações. Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha para eliminar o -1 de I1 na segunda equação:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1:
-1 + 1 = 0, -2 + 1 = -1, 3 + 2 = 5, 1 + 8 = 9
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & -1 & 5 & | & 9 3 & -7 & 4 & | & 10

Passo 4

Agora, vamos eliminar o I1 da terceira equação. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 3 * Linha 1:
3 - 3*1 = 0, -7 - 3*1 = -10, 4 - 3*2 = -2, 10 - 3*8 = -14
A matriz atualizada:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & -1 & 5 & | & 9 0 & -10 & -2 & | & -14

Passo 5

Continuando com a eliminação, vamos usar a segunda linha para eliminar o I2 da terceira linha. Primeiro, podemos simplificar a segunda linha multiplicando-a por -1 para facilitar:
Linha 2 = -1 * Linha 2:
0, 1, -5, -9
Agora, usamos a nova segunda linha para eliminar o -10 de I2 na terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 10 * Linha 2:
0 + 10*0 = 0, -10 + 10*1 = 0, -2 + 10*(-5) = -52, -14 + 10*(-9) = -104
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & 0 & -52 & | & -104

Passo 6

Agora que temos uma matriz triangular superior, podemos resolver as equações de baixo para cima. A terceira linha nos dá:
-52 I3 = -104 implies I3 = -104-52 = 2

Passo 7

Com I3 = 2, substituímos na segunda linha para encontrar I2:
I2 - 5(2) = -9 implies I2 - 10 = -9 implies I2 = -9 + 10 = 1

Passo 8

Agora, com I2 = 1 e I3 = 2, substituímos na primeira linha para encontrar I1:
I1 + 1 + 2(2) = 8 implies I1 + 1 + 4 = 8 implies I1 = 8 - 5 = 3

Resposta

A solução do sistema é I1 = 3, I2 = 1 e I3 = 2.

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