Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear tenha sido reduzida à forma escalonada. Resolva o sistema linear corresponte (ou seja, determine a solução dos sistemas lineares por eliminação de Gauss).
(b) [rrrrr1 & 0 & 8 & -5 & 6 0 & 1 & 4 & -9 & 3 0 & 0 & 1 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz aumentada de um sistema linear já na forma escalonada. Isso significa que já simplificamos bastante o sistema usando a eliminação de Gauss. Nosso objetivo aqui é achar as soluções para as variáveis desse sistema. Para resolver, vamos usar a substituição retroativa, que é uma técnica para resolver sistemas já simplificados. Precisamos lembrar que, como temos 4 variáveis e 3 equações, uma delas será livre, ou seja, pode assumir qualquer valor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações correspondentes à matriz:
x1 + 8x3 - 5x4 = 6 x2 + 4x3 - 9x4 = 3 x3 + x4 = 2
Aqui, cada linha da matriz se transforma em uma equação.

Passo 3

Vamos começar pela última equação, que é a mais simples:
x3 + x4 = 2
Essa equação nos permite expressar x3 em função de x4 :
x3 = 2 - x4

Passo 4

Agora, substituímos x3 na segunda equação:
x2 + 4(2 - x4) - 9x4 = 3
Vamos simplificar:
x2 + 8 - 4x4 - 9x4 = 3
x2 - 13x4 = -5
x2 = 13x4 - 5
Então, x2 também está em termos de x4 .

Passo 5

Agora, vamos substituir x3 na primeira equação:
x1 + 8(2 - x4) - 5x4 = 6
Simplificando:
x1 + 16 - 8x4 - 5x4 = 6
x1 - 13x4 = -10
x1 = 13x4 - 10
Então, x1 também depende de x4 .

Passo 6

Até aqui, conseguimos expressar x1 , x2 e x3 em função de x4 . Como x4 não está restrito por nenhuma equação, ele pode ser qualquer número real. Vamos chamar x4 de parâmetro, digamos t , para deixar claro que é livre.
Então, temos:
x4 = t x3 = 2 - t x2 = 13t - 5 x1 = 13t - 10

Resposta

A solução do sistema é dada por:
x1 = 13t - 10 x2 = 13t - 5 x3 = 2 - t x4 = t
onde t é um número real qualquer.

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