Resolva os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial e verifique a exatidão da solução através do cálculo do resíduo. Utilize 4 casas decimais.
\left[\begin{array}{ccc}-2 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & -4 \\\\ 4 & 10 & -6\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-5 \\\\ -9 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e pede que se resolva pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial e que se verifique a exatidão calculando o resíduo. Os dados são:
A=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -4 \\[4pt] 4 & 10 & -6\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-5\\[4pt]-9\\[4pt]2\end{pmatrix}.
O que se pede:
  1. Determinar \mathbf{x} usando eliminação de Gauss com pivotação parcial (usar trocas de linha sempre que necessário, escolhendo o maior pivô em valor absoluto na coluna).
  2. Calcular o resíduo \mathbf{r}=\mathbf{b}-A\mathbf{x} e verificar a exatidão (apresentar com 4 casas decimais).]

Passo 2

Breve explicação do método (para a prova, mentaliza assim):
  • Eliminação de Gauss transforma A em uma matriz triangular superior U através de operações elementares por linhas; simultaneamente modifica \mathbf{b}.
  • Em cada coluna k escolhe-se o pivô entre as linhas k,k+1,\dots,n. Na pivotação parcial escolhe-se como pivô a entrada com maior valor absoluto nessa coluna (isso evita divisões por números pequenos e melhora a estabilidade numérica).
  • Quando um pivô está em outra linha, faz-se a troca de linhas (permuta). Depois usa-se o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}
para zerar as entradas abaixo do pivô: substitui-se a linha i por \text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k.
  • Após obter a matriz triangular superior, resolve-se por substituição regressiva: para n=3,
x_3=\frac{u_{33}}{a_{33}},\qquad x_2=\frac{b'_2-u_{23}x_3}{u_{22}},\qquad x_1=\frac{b'_1-u_{12}x_2-u_{13}x_3}{u_{11}},
onde os primos indicam o lado direito modificado pelas eliminações.

Passo 3

Montagem inicial (vou mostrar as linhas e o vetor \mathbf{b}):
\begin{array}{c|ccc|c} \text{Linha} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & b \\\ \hline 1 & -2 & 3 & 1 & -5 \\\\ 2 & 2 & 1 & -4 & -9 \\\\ 3 & 4 & 10 & -6 & 2 \end{array}
Primeira coluna (coluna 1): os valores absolutos são |-2|=2,\\ |2|=2,\\ |4|=4. O maior pivô em valor absoluto é 4 (linha 3). Portanto trocamos a linha 1 com a linha 3 (pivotação parcial).
Após a troca:
\begin{array}{c|ccc|c} & & & & \\\ \hline 1 & 4 & 10 & -6 & 2 \\\\ 2 & 2 & 1 & -4 & -9 \\\\ 3 & -2 & 3 & 1 & -5 \end{array}

Passo 4

Eliminação na coluna 1 (usar a_{11}=4 como pivô).
Calculamos os multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2}{4}=0{,}5,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-2}{4}=-0{,}5.
Atualizamos as linhas 2 e 3:
Para a linha 2:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - 0{,}5\cdot\text{linha}_1.
Cálculos elemento a elemento:
\begin{aligned} & a_{21}: 2-0{,}5\cdot4 = 0,\\\ & a_{22}: 1-0{,}5\cdot10 = 1-5 = -4,\\\ & a_{23}: -4-0{,}5\cdot(-6) = -4 +3 = -1,\\\ & b_2: -9 - 0{,}5\cdot2 = -9 -1 = -10. \end{aligned}
Para a linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - (-0{,}5)\cdot\text{linha}_1 = \text{linha}_3 + 0{,}5\cdot\text{linha}_1.
Cálculos:
\begin{aligned} & a_{31}: -2 +0{,}5\cdot4 = 0,\\\ & a_{32}: 3 +0{,}5\cdot10 = 3+5 = 8,\\\ & a_{33}: 1 +0{,}5\cdot(-6) = 1-3 = -2,\\\ & b_3: -5 +0{,}5\cdot2 = -5 +1 = -4. \end{aligned}
Matriz depois da primeira etapa:
\begin{array}{c|ccc|c} & & & & \\\ \hline 1 & 4 & 10 & -6 & 2 \\\\ 2 & 0 & -4 & -1 & -10 \\\\ 3 & 0 & 8 & -2 & -4 \end{array}

Passo 5

Segunda coluna (coluna 2): entre as linhas 2 e 3, os elementos na coluna 2 são -4 e 8, com valores absolutos 4 e 8. O maior em valor absoluto é 8 (linha 3). Aplicamos pivotação: trocamos linha 2 com linha 3.
Após a troca:
\begin{array}{c|ccc|c} & & & & \\\ \hline 1 & 4 & 10 & -6 & 2 \\\\ 2 & 0 & 8 & -2 & -4 \\\\ 3 & 0 & -4 & -1 & -10 \end{array}

Passo 6

Eliminação na coluna 2 com pivô a_{22}=8. Calcula-se
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-4}{8}=-0{,}5.
Atualiza-se a linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - (-0{,}5)\cdot\text{linha}_2 = \text{linha}_3 + 0{,}5\cdot\text{linha}_2.
Cálculos:
\begin{aligned} & a_{31}: 0 + 0{,}5\cdot0 = 0,\\\ & a_{32}: -4 + 0{,}5\cdot8 = -4 +4 = 0,\\\ & a_{33}: -1 + 0{,}5\cdot(-2) = -1 -1 = -2,\\\ & b_3: -10 + 0{,}5\cdot(-4) = -10 -2 = -12. \end{aligned}
Agora a matriz está triangular superior:
\begin{array}{c|ccc|c} & & & & \\\ \hline 1 & 4 & 10 & -6 & 2 \\\\ 2 & 0 & 8 & -2 & -4 \\\\ 3 & 0 & 0 & -2 & -12 \end{array}

Passo 7

Substituição regressiva (expliquei antes a fórmula; agora aplico):
Da terceira equação:
a_{33}x_3 = b_3 \quad\Rightarrow\quad -2\,x_3 = -12 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \frac{-12}{-2} = 6.
Da segunda equação:
a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \quad\Rightarrow\quad 8\,x_2 + (-2)\cdot 6 = -4.
Resolviendo:
8\,x_2 -12 = -4 \quad\Rightarrow\quad 8\,x_2 = 8 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 1.
Da primeira equação:
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \quad\Rightarrow\quad 4\,x_1 + 10\cdot1 + (-6)\cdot6 = 2.
Cálculo:
4\,x_1 + 10 -36 = 2 \quad\Rightarrow\quad 4\,x_1 -26 = 2 \quad\Rightarrow\quad 4\,x_1 = 28 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 7.
Solução exata encontrada:
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]1\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo do resíduo \mathbf{r}=\mathbf{b}-A\mathbf{x} para verificar a exatidão.
Primeiro calculamos A\mathbf{x}:
A\mathbf{x}= \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -4 \\[4pt] 4 & 10 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\[4pt]1\\[4pt]6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot7 + 3\cdot1 + 1\cdot6 \\[4pt] 2\cdot7 + 1\cdot1 + (-4)\cdot6 \\[4pt] 4\cdot7 + 10\cdot1 + (-6)\cdot6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 +3 +6 \\[4pt] 14 +1 -24 \\[4pt] 28 +10 -36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\[4pt] -9 \\[4pt] 2 \end{pmatrix}.
Então
\mathbf{r}=\mathbf{b}-A\mathbf{x}= \begin{pmatrix}-5\\[4pt]-9\\[4pt]2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-5\\[4pt]-9\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Em notação com 4 casas decimais, cada componente do resíduo é \;0{,}0000. Isso mostra que encontramos a solução exata do sistema e o resíduo é nulo (dentro da aritmética exata usada aqui).]

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (amigo explicando):
  • Sempre faça pivotação parcial: na prática compare o valor absoluto dos candidatos ao pivô e troque linhas se necessário. Isso evita divisões por números pequenos que aumentam erro.
  • Anote os multiplicadores m_{ik} — eles ajudam a rastrear erros se algo der estranho.
  • Verifique o resíduo \mathbf{b}-A\mathbf{x} no final; se for (quase) nulo, provavelmente está tudo certo.
    Força aí — você conseguiu! Se quiser, posso refazer o mesmo processo mostrando todas as operações em forma de matrizes L e U (fatoração PA=LU).

Resposta

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}7{,}0000\\[4pt]1{,}0000\\[4pt]6{,}0000\end{pmatrix}
\mathbf{r}=\mathbf{b}-A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}0{,}0000\\[4pt]0{,}0000\\[4pt]0{,}0000\end{pmatrix}]

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