Resolva os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial e verifique a exatidão da solução através do cálculo do resíduo. Utilize 4 casas decimais. \left[\begin{array}{ccc}-2 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & -4 \\\\ 4 & 10 & -6\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-5 \\\\ -9 \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear e pede que se resolva pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial e que se verifique a exatidão calculando o resíduo. Os dados são:
Determinar \mathbf{x} usando eliminação de Gauss com pivotação parcial (usar trocas de linha sempre que necessário, escolhendo o maior pivô em valor absoluto na coluna).
Calcular o resíduo \mathbf{r}=\mathbf{b}-A\mathbf{x} e verificar a exatidão (apresentar com 4 casas decimais).]
Passo 2
Breve explicação do método (para a prova, mentaliza assim):
Eliminação de Gauss transforma A em uma matriz triangular superior U através de operações elementares por linhas; simultaneamente modifica \mathbf{b}.
Em cada coluna k escolhe-se o pivô entre as linhas k,k+1,\dots,n. Na pivotação parcial escolhe-se como pivô a entrada com maior valor absoluto nessa coluna (isso evita divisões por números pequenos e melhora a estabilidade numérica).
Quando um pivô está em outra linha, faz-se a troca de linhas (permuta). Depois usa-se o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}
para zerar as entradas abaixo do pivô: substitui-se a linha i por \text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k.
Após obter a matriz triangular superior, resolve-se por substituição regressiva: para n=3,
Primeira coluna (coluna 1): os valores absolutos são |-2|=2,\\ |2|=2,\\ |4|=4. O maior pivô em valor absoluto é 4 (linha 3). Portanto trocamos a linha 1 com a linha 3 (pivotação parcial).
Segunda coluna (coluna 2): entre as linhas 2 e 3, os elementos na coluna 2 são -4 e 8, com valores absolutos 4 e 8. O maior em valor absoluto é 8 (linha 3). Aplicamos pivotação: trocamos linha 2 com linha 3.
Em notação com 4 casas decimais, cada componente do resíduo é \;0{,}0000. Isso mostra que encontramos a solução exata do sistema e o resíduo é nulo (dentro da aritmética exata usada aqui).]
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (amigo explicando):
Sempre faça pivotação parcial: na prática compare o valor absoluto dos candidatos ao pivô e troque linhas se necessário. Isso evita divisões por números pequenos que aumentam erro.
Anote os multiplicadores m_{ik} — eles ajudam a rastrear erros se algo der estranho.
Verifique o resíduo \mathbf{b}-A\mathbf{x} no final; se for (quase) nulo, provavelmente está tudo certo.
Força aí — você conseguiu! Se quiser, posso refazer o mesmo processo mostrando todas as operações em forma de matrizes L e U (fatoração PA=LU).