Resolva os sistemas lineares pelo método de Eliminação de Gauss. O que é possível afirmar em relação a quantidade de soluções desses sistemas? \left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & -1 \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ -1 & 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}8 \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que se pede.
Informação numérica fornecida: os coeficientes da matriz e o vetor \left[\begin{array}{c}8\\\ 3\\\ 4\end{array}\right].
O que se pede: resolver o sistema pelo método de Eliminação de Gauss e afirmar quantas soluções o sistema tem (nenhuma, uma única ou infinitas).]
Passo 2
Construção da matriz aumentada e nota sobre o método. Vou formar a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]. Explicando rapidinho: a Eliminação de Gauss consiste em aplicar operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular (ou escalonada), o que facilita encontrar as incógnitas. A matriz aumentada é:
Escolha de pivot e estratégia. É conveniente ter um pivot 1 no primeiro lugar para facilitar contas. Vou trocar a linha 1 pela linha 2 (operação R_{1}\leftrightarrow R_{2}). Operações elementares mantêm o conjunto solução.
Interpretação do escalonamento obtido. Observa-se a linha R_{3} igual a [0\\\ 0\\\ 0\mid 7]. Isso representa a equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=7,
ou seja, 0=7, que é uma contradição óbvia.
Na linguagem de sistemas lineares: quando uma linha da forma [0\\ \dots\\\ 0\mid c] com c\neq 0 aparece na matriz aumentada escalonada, o sistema é inconsistente — não existe nenhum vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Também é útil lembrar o critério de posto (rank): se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]) então o sistema não tem solução. Aqui, olhando para a forma escalonada:
As linhas não-nulas da parte dos coeficientes são duas (R_{1} e R_{2}), então \operatorname{rank}(A)=2.
A matriz aumentada tem uma terceira linha não nula (porque o último elemento da terceira linha é 7), então \operatorname{rank}([A\mid b])=3.
Como \operatorname{rank}(A)=2<3=\operatorname{rank}([A\mid b]), o sistema é inconsistente.
Passo 6
Conclusão final: por causa da linha contraditória 0=7 e do critério de posto, o sistema não possui solução. Em outras palavras, não existe vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça simultaneamente as três equações dadas.
Resposta
O sistema é inconsistente; não possui solução (nenhuma solução).