Resolva os sistemas lineares pelo método de Eliminação de Gauss. O que é possível afirmar em relação a quantidade de soluções desses sistemas?
\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & -1 \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ -1 & 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}8 \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que se pede.
  • Sistema dado:
\begin{cases} -1x_{1}-1x_{2}-1x_{3}=8,\\[4pt] 1x_{1}-1x_{2}+1x_{3}=3,\\[4pt] -1x_{1}+1x_{2}-1x_{3}=4. \end{cases}
  • Informação numérica fornecida: os coeficientes da matriz e o vetor \left[\begin{array}{c}8\\\ 3\\\ 4\end{array}\right].
  • O que se pede: resolver o sistema pelo método de Eliminação de Gauss e afirmar quantas soluções o sistema tem (nenhuma, uma única ou infinitas).]

Passo 2

Construção da matriz aumentada e nota sobre o método. Vou formar a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]. Explicando rapidinho: a Eliminação de Gauss consiste em aplicar operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular (ou escalonada), o que facilita encontrar as incógnitas. A matriz aumentada é:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & -1 & 8\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 3

Escolha de pivot e estratégia. É conveniente ter um pivot 1 no primeiro lugar para facilitar contas. Vou trocar a linha 1 pela linha 2 (operação R_{1}\leftrightarrow R_{2}). Operações elementares mantêm o conjunto solução.
Aplicando R_{1}\leftrightarrow R_{2} obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] -1 & -1 & -1 & 8\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação da coluna 1 nas linhas 2 e 3. Quero zerar as entradas abaixo do pivot \,1 na primeira coluna.
  • Faço R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}. Calculando componente a componente:
    • Primeira entrada: -1+1=0.
    • Segunda: -1+(-1)=-2.
    • Terceira: -1+1=0.
    • Termo independente: 8+3=11.
      Assim R_{2} vira [0\\\ -2\\\ 0\mid 11].
  • Faço R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}. Calculando:
    • Primeira: -1+1=0.
    • Segunda: 1+(-1)=0.
    • Terceira: -1+1=0.
    • Termo independente: 4+3=7.
      Assim R_{3} vira [0\\\ 0\\\ 0\mid 7].
Após essas operações a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -2 & 0 & 11\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 7 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação do escalonamento obtido. Observa-se a linha R_{3} igual a [0\\\ 0\\\ 0\mid 7]. Isso representa a equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=7,
ou seja, 0=7, que é uma contradição óbvia.
Na linguagem de sistemas lineares: quando uma linha da forma [0\\ \dots\\\ 0\mid c] com c\neq 0 aparece na matriz aumentada escalonada, o sistema é inconsistente — não existe nenhum vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Também é útil lembrar o critério de posto (rank): se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]) então o sistema não tem solução. Aqui, olhando para a forma escalonada:
  • As linhas não-nulas da parte dos coeficientes são duas ( R_{1} e R_{2}), então \operatorname{rank}(A)=2.
  • A matriz aumentada tem uma terceira linha não nula (porque o último elemento da terceira linha é 7), então \operatorname{rank}([A\mid b])=3.
    Como \operatorname{rank}(A)=2<3=\operatorname{rank}([A\mid b]), o sistema é inconsistente.

Passo 6

Conclusão final: por causa da linha contraditória 0=7 e do critério de posto, o sistema não possui solução. Em outras palavras, não existe vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça simultaneamente as três equações dadas.

Resposta

O sistema é inconsistente; não possui solução (nenhuma solução).

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