Resolva os sistemas lineares utilizando o método de substituição retroativa ou progressiva (sucessiva):
\left\{\begin{array}{rll}2 x_{1} & & = 4 \\\\ 3 x_{1}+5 x_{2} & & = 7 \\\ x_{1}-6 x_{2}+8 x_{3} & & = 8 \\\\ -x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3}+9 x_{4} & = & 48\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{rll} 2x_{1} & = & 4\\[4pt] 3x_{1}+5x_{2} & = & 7\\[4pt] x_{1}-6x_{2}+8x_{3} & = & 8\\[4pt] - x_{1}+4x_{2}-3x_{3}+9x_{4} & = & 48 \end{array}\right.
O que se pede: encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A primeira equação envolve somente x_{1}.
  • Cada equação seguinte envolve x_{1} e as incógnitas seguintes, em forma que permite resolver em sequência usando substituição progressiva (ou retroativa, dependendo do formato). Aqui é possível resolver primeiro x_{1}, depois x_{2}, depois x_{3} e por fim x_{4}.]

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (substituição progressiva) de forma curta e didática: quando uma equação do sistema dá diretamente uma incógnita isolada (como a primeira equação dá x_{1}), calcula-se esse valor e substitui-se nas equações seguintes para reduzir o número de incógnitas. Repetimos esse processo em cadeia até obter todas as incógnitas.
Por que isso funciona? Porque substituir um valor conhecido transforma cada equação restante numa equação com uma incógnita a menos; se o sistema é “triangular” nesse sentido, dá para seguir em frente sem voltar atrás.
Vou aplicar isso passo a passo às equações dadas.

Passo 3

Resolver a primeira equação para x_{1}.
A primeira equação é 2x_{1}=4.
Isolando x_{1}:
x_{1}=\frac{4}{2}=2.
Então \;x_{1}=2.

Passo 4

Usar x_{1}=2 na segunda equação para encontrar x_{2}.
A segunda equação é 3x_{1}+5x_{2}=7.
Substituindo \;x_{1}=2:
3\cdot 2 + 5x_{2} = 7.
Calcule 3\cdot 2=6, então
6 + 5x_{2} = 7.
Isolando x_{2}:
5x_{2} = 7-6 = 1,
x_{2} = \frac{1}{5}.
Opcionalmente como decimal \;x_{2}=0,2, mas manteremos a forma fracionária exata \;x_{2}=\dfrac{1}{5}.

Passo 5

Usar \;x_{1}=2 e \;x_{2}=\dfrac{1}{5} na terceira equação para encontrar x_{3}.
A terceira equação é x_{1}-6x_{2}+8x_{3}=8.
Substituindo:
2 -6\cdot\frac{1}{5} + 8x_{3} = 8.
Calcule 6\cdot\frac{1}{5}=\frac{6}{5}. Converter 2 para quinta avos: 2=\frac{10}{5}. Então
\frac{10}{5}-\frac{6}{5}+8x_{3}=8 \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{5}+8x_{3}=8.
Isolando x_{3}:
8x_{3} = 8 - \frac{4}{5} = \frac{40}{5}-\frac{4}{5}=\frac{36}{5},
x_{3} = \frac{36}{5}\cdot\frac{1}{8} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}.
Como decimal \;x_{3}=0,9, mas a forma exata é \;x_{3}=\dfrac{9}{10}.

Passo 6

Usar \;x_{1}=2, \;x_{2}=\dfrac{1}{5} e \;x_{3}=\dfrac{9}{10} na quarta equação para encontrar x_{4}.
A quarta equação é -x_{1}+4x_{2}-3x_{3}+9x_{4}=48.
Substituindo:
-2 + 4\cdot\frac{1}{5} -3\cdot\frac{9}{10} + 9x_{4} = 48.
Calcule termo a termo:
4\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{5},\qquad -3\cdot\frac{9}{10}=-\frac{27}{10}.
Passe tudo para décimos (denominador comum 10):
-2 = -\frac{20}{10},\qquad \frac{4}{5}=\frac{8}{10}.
Somando os termos constantes:
-\frac{20}{10} + \frac{8}{10} - \frac{27}{10} = -\frac{39}{10}.
Então a equação fica
-\frac{39}{10} + 9x_{4} = 48.
Isolando x_{4}:
9x_{4} = 48 + \frac{39}{10} = \frac{480}{10}+\frac{39}{10}=\frac{519}{10},
x_{4} = \frac{519}{10}\cdot\frac{1}{9} = \frac{519}{90}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 3:
x_{4} = \frac{173}{30}.
Em decimal aproximado \;x_{4}\approx 5,766\ldots, mas a forma exata é \;x_{4}=\dfrac{173}{30}.

Passo 7

Verificação rápida (substituir de volta nas equações para checar):
  • Primeira: 2x_{1}=2\cdot 2=4 ok.
  • Segunda: 3x_{1}+5x_{2}=3\cdot2+5\cdot\frac{1}{5}=6+1=7 ok.
  • Terceira: x_{1}-6x_{2}+8x_{3}=2-6\cdot\frac{1}{5}+8\cdot\frac{9}{10}=2-\frac{6}{5}+\frac{72}{10}=2-\frac{6}{5}+\frac{36}{5}=2+\frac{30}{5}=2+6=8 ok.
  • Quarta: -x_{1}+4x_{2}-3x_{3}+9x_{4}=-2+\frac{4}{5}-\frac{27}{10}+9\cdot\frac{173}{30}=-\frac{39}{10}+\frac{519}{10}=\frac{480}{10}=48 ok.
Todos conferem, solução correta.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=\dfrac{1}{5}
x_{3}=\dfrac{9}{10}
x_{4}=\dfrac{173}{30}

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