Resolva o sistema linear pelo método de decomposição LU e verifique a exatidão da solução. Utilize quatro casas decimais.
\left[\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 3 & 8 \\ 1 & 6 & 2 & -3 \\ 5 & 5 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 43 \\ 1 \\ 18 \\ 8 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 3 & 8 \\\\ 1 & 6 & 2 & -3 \\\\ 5 & 5 & 1 & 0 \\\\ 2 & 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}43\\[2pt]1\\[2pt]18\\[2pt]8\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Determinar a solução x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T usando decomposição LU (método de Doolittle, sem pivoteamento).
  • Verificar a exatidão da solução (checar A x e o resíduo), e apresentar resultados com quatro casas decimais.
As informações relevantes são exatamente os coeficientes da matriz A e o vetor b.]

Passo 2

Breve aula sobre o método LU (Doolittle) — o que vamos usar e por quê.
  • A decomposição LU escreve A como produto A = L\,U, onde L é triangular inferior com diagonal igual a 1 (matriz unitária) e U é triangular superior.
  • Vantagem prática: resolver A x=b vira resolver dois sistemas triangulares:
    1. L y = b (substituição para frente) para obter y;
    2. U x = y (substituição para trás) para obter x.
  • Fórmulas (esquemáticas) usadas no algoritmo Doolittle para construir L e U em ordem crescente de colunas/linhas: u_{k j} = a_{k j} - \sum_{s=1}^{k-1} l_{k s}\,u_{s j}\quad(\text{para } j\ge k),
l_{i k} = \frac{1}{u_{k k}}\Big(a_{i k} - \sum_{s=1}^{k-1} l_{i s}\,u_{s k}\Big)\quad(\text{para } i>k),
com l_{ii}=1.
  • Cada u_{kk} deve ser não nulo; neste problema a decomposição sem pivoteamento é possível (veremo-lo ao calcular).
Agora aplicamos isso passo a passo, fazendo contas com frações quando conveniente para preservar exatidão.

Passo 3

Construção de L e U passo a passo (Doolittle).
  1. Linha 1 de U é igual à linha 1 de A:
u_{11}=4,\quad u_{12}=-1,\quad u_{13}=3,\quad u_{14}=8.
  1. Coluna 1 de L (exceto o 1 na diagonal) vem de l_{i1}=a_{i1}/u_{11}:
l_{21}=\frac{1}{4},\quad l_{31}=\frac{5}{4},\quad l_{41}=\frac{1}{2}.
  1. Eliminar coluna 1 nas linhas 2–4 para obter o segundo estágio (escrevo resultados usados para formar a segunda linha de U):
  • Linha 2 reduzida: [0,\;6{,}25,\;1{,}25,\;-5] pois \text{linha}_2'=\text{linha}_2 - l_{21}\,\text{linha}_1 =\begin{pmatrix}0 & 6{,}25 & 1{,}25 & -5\end{pmatrix}.
  • Linha 3 reduzida: [0,\;6{,}25,\;-2{,}75,\;-10].
  • Linha 4 reduzida: [0,\;4{,}5,\;-3{,}5,\;-3].
Portanto
u_{22}=6{,}25=\frac{25}{4},\quad u_{23}=1{,}25=\frac{5}{4},\quad u_{24}=-5.
  1. Entradas l_{32} e l_{42}:
l_{32}=\frac{6{,}25}{6{,}25}=1,\qquad l_{42}=\frac{4{,}5}{6{,}25}=\frac{18}{25}=0{,}72.
  1. Eliminar usando l_{32} e l_{42} para obter terceira linha de U:
  • Linha 3 nova: [0,0,-4,-5].
  • Linha 4 nova: [0,0,-4{,}4,0{,}6] que em frações é \bigl[0,0,-\tfrac{22}{5},\tfrac{3}{5}\bigr].
Assim
u_{33}=-4,\quad u_{34}=-5.
  1. Calcular l_{43}:
l_{43}=\frac{-\tfrac{22}{5}}{-4}=\frac{11}{10}=1{,}1.
  1. Finalmente
u_{44} = 0{,}6 - l_{43}\cdot(-5) = \frac{3}{5} - \frac{11}{10}\cdot(-5) = \frac{61}{10}=6{,}1.
Portanto as matrizes L e U obtidas (mostradas em forma racional e decimal) são:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \frac{1}{4} & 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{5}{4} & 1 & 1 & 0\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{18}{25} & \frac{11}{10} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 3 & 8\\[4pt] 0 & \frac{25}{4} & \frac{5}{4} & -5\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \frac{61}{10} \end{pmatrix}.
(Observação pedagógica: manter frações evita erros de arredondamento; os números acima conferem com os cálculos decimais que fizemos.)]

Passo 4

Resolver L y = b por substituição para frente.
Escrevemos as equações (com l_{ii}=1):
\begin{cases} y_1 = 43,\\[4pt] y_2 = 1 - \dfrac{1}{4}y_1,\\[6pt] y_3 = 18 - \dfrac{5}{4}y_1 - 1\cdot y_2,\\[6pt] y_4 = 8 - \dfrac{1}{2}y_1 - \dfrac{18}{25}y_2 - \dfrac{11}{10}y_3. \end{cases}
Calculemos cada uma com exatidão fracionária:
y_1=43,
y_2=1-\tfrac{1}{4}\cdot 43 = 1-\tfrac{43}{4} = -\tfrac{39}{4} = -9{,}75,
y_3=18-\tfrac{5}{4}\cdot 43 - \bigl(-\tfrac{39}{4}\bigr) =18-\tfrac{215}{4}+\tfrac{39}{4} =18-\tfrac{176}{4}=18-44=-26,
y_4=8-\tfrac{1}{2}\cdot43-\tfrac{18}{25}\cdot\Big(-\tfrac{39}{4}\Big)-\tfrac{11}{10}\cdot(-26) =\frac{553}{25}=22{,}12.
Logo
y=\begin{pmatrix}43\\[2pt]-\tfrac{39}{4}\\[2pt]-26\\[2pt]\tfrac{553}{25}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}43\\[2pt]-9{,}75\\[2pt]-26\\[2pt]22{,}12\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver [U x = y) por substituição para trás.
As equações (triangular superior) são:
\begin{cases} \frac{61}{10}\,x_4 = \dfrac{553}{25},\\[6pt] -4\,x_3 -5\,x_4 = -26,\\[6pt] \frac{25}{4}\,x_2 + \frac{5}{4}\,x_3 -5\,x_4 = -\tfrac{39}{4},\\[6pt] 4\,x_1 - x_2 + 3\,x_3 + 8\,x_4 = 43. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima (manterei frações exatas quando possível):
  1. Da última equação de baixo (linha 4 de (U]):
    x_4 = \frac{\tfrac{553}{25}}{\tfrac{61}{10}} = \frac{553}{25}\cdot\frac{10}{61} = \frac{1106}{305} \approx 3{,}6278688525.
  2. Para x_3:
-4x_3 -5x_4 = -26 \\ \Rightarrow\\ x_3 = \frac{26-5x_4}{4}.
Substituindo x_4=\dfrac{1106}{305}:
x_3 = \frac{2400}{1220} = \frac{120}{61} \approx 1{,}9672131148.
  1. Para x_2: multiplicando por 4 a equação da linha 2 para simplificar,
25 x_2 +5 x_3 -20 x_4 = -39 \\ \Rightarrow\\\ 25 x_2 = -39 -5x_3 +20x_4.
Substituindo e simplificando obtém-se
x_2 = \frac{289}{305} \approx 0{,}9475419036.
  1. Finalmente x_1:
4x_1 = 43 + x_2 -3x_3 -8x_4 \\ \Rightarrow\\ x_1 = \frac{689}{305} \approx 2{,}2590163934.
Portanto a solução exata (em frações) é
x_1=\frac{689}{305},\quad x_2=\frac{289}{305},\quad x_3=\frac{120}{61},\quad x_4=\frac{1106}{305}.
Em forma decimal, com muitas casas:
x\approx\begin{pmatrix} 2{,}2590166234\\[2pt] 0{,}9475419036\\[2pt] 1{,}9672131148\\[2pt] 3{,}6278688525 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação da exatidão da solução.
  • Verificação exata (com frações): multiplicando A pela solução fracionária obtida volta-se exatamente ao vetor b. Por exemplo a primeira componente dá
4\cdot\frac{689}{305}-\frac{289}{305}+3\cdot\frac{120}{61}+8\cdot\frac{1106}{305} =\frac{13115}{305}=43,
e as demais componentes também retornam exatamente 1,18,8. Assim, em aritmética exata a solução encontrada satisfaz A x=b sem resíduo.
  • Verificação numérica com os valores arredondados à quarta casa decimal (conforme pedido pela instrução): tomar
x_1=2{,}2590,\quad x_2=0{,}9475,\quad x_3=1{,}9672,\quad x_4=3{,}6279.
Calcular A x usando estes valores (apresento o resultado com quatro casas decimais):
A x \approx \begin{pmatrix} 43{,}0133\\[2pt] 0{,}9947\\[2pt] 17{,}9997\\[2pt] 8{,}0015 \end{pmatrix}.
O resíduo r=b-Ax com esses valores arredondados é (com quatro casas decimais)
r \approx \begin{pmatrix} -0{,}0133\\[2pt] 0{,}0053\\[2pt] 0{,}0003\\[2pt] -0{,}0015 \end{pmatrix},
que é muito pequeno; a pequena diferença vem apenas do arredondamento para quatro casas decimais. Em aritmética exata não há resíduo.
(Comentário de incentivo: deu trabalho, mas chegamos a solução exata em frações e a checagem confirma que está correta — boa!)]

Resposta

x_1=2{,}2590
x_2=0{,}9475
x_3=1{,}9672
x_4=3{,}6279

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