Determinar a solução x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T usando decomposição LU (método de Doolittle, sem pivoteamento).
Verificar a exatidão da solução (checar A x e o resíduo), e apresentar resultados com quatro casas decimais.
As informações relevantes são exatamente os coeficientes da matriz A e o vetor b.]
Passo 2
Breve aula sobre o método LU (Doolittle) — o que vamos usar e por quê.
A decomposição LU escreve A como produto A = L\,U, onde L é triangular inferior com diagonal igual a 1 (matriz unitária) e U é triangular superior.
Vantagem prática: resolver A x=b vira resolver dois sistemas triangulares:
L y = b (substituição para frente) para obter y;
U x = y (substituição para trás) para obter x.
Fórmulas (esquemáticas) usadas no algoritmo Doolittle para construir L e U em ordem crescente de colunas/linhas:u_{k j} = a_{k j} - \sum_{s=1}^{k-1} l_{k s}\,u_{s j}\quad(\text{para } j\ge k),
Resolvendo de baixo para cima (manterei frações exatas quando possível):
Da última equação de baixo (linha 4 de (U]): x_4 = \frac{\tfrac{553}{25}}{\tfrac{61}{10}} = \frac{553}{25}\cdot\frac{10}{61} = \frac{1106}{305} \approx 3{,}6278688525.