Para cada um dos sistemas abaixo verificaremos as condições de convergência para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
I. Verificar a condição de convergência de matriz diagonal estritamente dominante.
II. Se o item I) não for verificado, tente reordenar as linhas e diga se é possível.
III. Verifique a condição de convergência da norma, tal verificação deve ser feita para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel separadamente.
IV. Escolha um dos métodos (Jacobi ou Gauss-Seidel) para resolver um sistema linear levando em consideração a tolerância varepsilon<4 times 10^-2 ou atingir a 5 iterações.
-x+4 y+2 z=3
2 x-3 y+10 z=-1
5 x+2 y+z=7

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente estudar um sistema linear
-,x + 4,y + 2,z = 3, 2,x - 3,y +10,z = -1, 5,x + 2,y + z = 7
usando os métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel. A matéria é “convergência de métodos iterativos”:
  • Checar se a matriz é diagonal estritamente dominante;
  • Se não for, ver se dá pra reordenar linhas;
  • Verificar convergência via norma de iteração (Jacobi e GS);
  • Escolher um método e aproximar solução até tolerância ou 5 iterações.

Passo 2

Primeiro checar “dominância diagonal”: para cada linha |aii| ;>;sumjneq i|aij| , precisa valer
Na matriz original:
linha 1: vs → não domina;
linha 2: vs → não domina;
linha 3: vs → não domina.
Então NÃO é estritamente dominante.

Passo 3

Tentar reordenar linhas pra ter domínio. Observando coeficientes maiores:
  • Pra 5x + 2y + 1z = 7, -,x +4y +2z = 3, 2x -3y +10z = -1 , melhor usar linha com coeficiente 5 (a 3ª).
  • Pra , melhor usar linha com coeficiente 4 (a 1ª).
  • Pra , melhor usar linha com coeficiente 10 (a 2ª).
    Fazendo a permuta (3, 1, 2), o sistema vira
Agora:
linha 1: ;
linha 2: ;
linha 3: .
Beleza, ficou estritamente dominante!

Passo 4

Agora calculamos as matrizes de iteração e vemos a norma infinito ( BJ = -,D^-1(L+U) ) pra cada método.
  1. Jacobi: escrevendo BJ = 0 & -tfrac25 & -tfrac15[6pt] tfrac14 & 0 & -tfrac12[6pt] -tfrac15 & tfrac310 & 0 , , a matriz de iteração é
BGS = 0 & -0.4 & -0.2 0 & 0 & -0.55 0 & 0 & 0 , |BGS|infty = 0.6<1
No nosso caso e junta off-diagonais. Depois de calcular, dá
. Converge.
  1. Gauss–Seidel: . Dando uma de chefe e calculando, obtemos
Também converge, e como , escolhemos Gauss–Seidel (GS) – ele tende a convergir mais rápido.

Passo 5

Bora resolver por Gauss–Seidel até x^(k) = dfrac7 - 2y^(k-1) - z^(k-1)5,[6pt] y^(k) = dfrac3 + x^(k) -2z^(k-1)4,[6pt] z^(k) = dfrac-1 -2x^(k) +3y^(k)10 ou 5 iterações. As fórmulas (usando o sistema reordenado) são:
x^(1)=1.4, y^(1)=1.1, z^(1)=-0.05
Chutamos x^(2)=0.97, y^(2)approx1.0175, z^(2)approx0.01125 . Calculando:
Iteração 1:
x^(3)approx0.99075, y^(3)approx0.9920625, z^(3)approx-0.00053125
Iteração 2:
Erro → ainda grande.
Iteração 3:
Erro . Paramos (já dentro da tolerância).

Resposta

Aproximação pelo método de Gauss–Seidel (3 iterações) é
boxed,(x,y,z)approx(0.99075,;0.99206,;-0.00053),

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