Para cada um dos sistemas abaixo verificaremos as condições de convergência para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
I. Verificar a condição de convergência de matriz diagonal estritamente dominante.
II. Se o item I) não for verificado, tente reordenar as linhas e diga se é possível.
III. Verifique a condição de convergência da norma, tal verificação deve ser feita para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel separadamente.
IV. Escolha um dos métodos (Jacobi ou Gauss-Seidel) para resolver um sistema linear levando em consideração a tolerância ou atingir a 5 iterações.
Passo 1
Opa! Então o exercício é o seguinte: temos o sistema
e a gente precisa:
Verificar se a matriz é diagonal estritamente dominante (para garantir convergência de Jacobi/Gauss-Seidel).
Se não for, tentar reordenar linhas.
Se ainda não der, usar condição de norma (∞-norma) dos métodos (Jacobi e Gauss-Seidel) pra ver se convergem.
Escolher um método e iterar até erro menor que ou até 5 iterações.
O conteúdo aqui é métodos iterativos para sistemas lineares: decomposição , construção da matriz de iteração , e teste de convergência por domínio diagonal ou por norma (se , convergem).
Passo 2
Verificação de dominância diagonal. Para cada linha |aii| > sumjneq i |aij|, da matriz , a condição é
As linhas de são:
OK
Não!
OK
Logo, a linha 2 falha: não é estritamente dominante.
Passo 3
Tentar reordenar as linhas para ver se muda isso.
– Na segunda equação os coeficientes são . Nenhum deles satisfaz:
• ,
• ,
• .
Então, por mais que a gente permute linhas, sempre teremos uma linha “não dominante”. Portanto não dá pra forçar dominância.
Passo 4
Agora vamos ao teste de norma.
Para Jacobi, a matriz de iteração é
Como BGSapprox 0 & -0.1 & 0.1 0 & 0.2 & -3.2 0 & -1.9 & 31.9 , , não há garantia de convergência de Jacobi.
Para Gauss–Seidel,
|BGS|infty = max0.2,;3.4,;33.8 = 33.8>1
com
Resolvendo coluna a coluna, achamos
e
Então Gauss–Seidel também não satisfaz .
Passo 5
Como nem a dominância diagonal nem o critério de norma ∞ deram certo para Jacobi nem para Gauss–Seidel, nenhum dos dois métodos garante convergência neste sistema. Logo, não adianta tentar iterar até ou 5 iterações: os valores vão explodir em vez de estabilizar.
Resposta
O sistema NÃO satisfaz as condições de convergência nem pelo critério de dominância diagonal nem pelo teste de norma ∞, para Jacobi ou Gauss–Seidel. Portanto, nenhum dos dois métodos iterativos converge para este sistema.