Para cada um dos sistemas abaixo verificaremos as condições de convergência para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
I. Verificar a condição de convergência de matriz diagonal estritamente dominante.
II. Se o item I) não for verificado, tente reordenar as linhas e diga se é possível.
III. Verifique a condição de convergência da norma, tal verificação deve ser feita para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel separadamente.
IV. Escolha um dos métodos (Jacobi ou Gauss-Seidel) para resolver um sistema linear levando em consideração a tolerância varepsilon<4 times 10^-2 ou atingir a 5 iterações.
10 x+y-z=10
4 x+2 y+6 z=1
x+10 y+z=12

Passo 1

Opa! Então o exercício é o seguinte: temos o sistema
10x + y - z = 10 4x + 2y + 6z = 1 x + 10y + z = 12
e a gente precisa:
  1. Verificar se a matriz é diagonal estritamente dominante (para garantir convergência de Jacobi/Gauss-Seidel).
  2. Se não for, tentar reordenar linhas.
  3. Se ainda não der, usar condição de norma (∞-norma) dos métodos (Jacobi e Gauss-Seidel) pra ver se convergem.
  4. Escolher um método e iterar até erro menor que ou até 5 iterações.
O conteúdo aqui é métodos iterativos para sistemas lineares: decomposição , construção da matriz de iteração , e teste de convergência por domínio diagonal ou por norma (se , convergem).

Passo 2

Verificação de dominância diagonal. Para cada linha |aii| > sumjneq i |aij|, da matriz , a condição é
As linhas de são:
  1. OK
  2. Não!
  3. OK
    Logo, a linha 2 falha: não é estritamente dominante.

Passo 3

Tentar reordenar as linhas para ver se muda isso.
– Na segunda equação os coeficientes são . Nenhum deles satisfaz:
,
,
.
Então, por mais que a gente permute linhas, sempre teremos uma linha “não dominante”. Portanto não dá pra forçar dominância.

Passo 4

Agora vamos ao teste de norma.
Para Jacobi, a matriz de iteração é
BJ = D^-1(L+U),
onde
L+U = 0 & -1 & 1 -4& 0 & -6 -1& -10 & 0 ,
BJ approx 0 & -0.1 & 0.1 -2 & 0 & -3 -1 & -10 & 0
Calculando |BJ|infty = max0.2,;5,;11 = 11 >1 , obtemos (valores aproximados)
BGS = -(D+L)^-1U,
A norma ∞ é o máximo das somas das linhas em valor absoluto:
D+L = 10 & 0 & 0 4 & 2 & 0 1 &10 & 1 , U = 0 & 1 & -1 0 & 0 & 6 0 & 0 & 0
Como BGSapprox 0 & -0.1 & 0.1 0 & 0.2 & -3.2 0 & -1.9 & 31.9 , , não há garantia de convergência de Jacobi.
Para Gauss–Seidel,
|BGS|infty = max0.2,;3.4,;33.8 = 33.8>1
com
Resolvendo coluna a coluna, achamos
e
Então Gauss–Seidel também não satisfaz .

Passo 5

Como nem a dominância diagonal nem o critério de norma ∞ deram certo para Jacobi nem para Gauss–Seidel, nenhum dos dois métodos garante convergência neste sistema. Logo, não adianta tentar iterar até ou 5 iterações: os valores vão explodir em vez de estabilizar.

Resposta

O sistema NÃO satisfaz as condições de convergência nem pelo critério de dominância diagonal nem pelo teste de norma ∞, para Jacobi ou Gauss–Seidel. Portanto, nenhum dos dois métodos iterativos converge para este sistema.

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