Resolva os sistemas lineares a seguir utilizando qualquer método linear visto. Efetue as pivotações, quando necessário.
lx1-2 x2+3 x3=2,5 x1-2 x2+x3=0,5 x1+x2-2 x3=2,0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver um sistema de 3 equações e 3 incógnitas usando algum método visto em Álgebra Linear (a famosa eliminação de Gauss com pivoteamento). Então, o que vamos precisar aqui é:
  • Montar a matriz aumentada do sistema.
  • Usar operações elementares de linha (R_i ↔ R_j, R_i ← R_i + k·R_j) pra zerar abaixo dos pivôs.
  • Se precisar, trocar linhas (pivoteamento) pra evitar divisão por zero ou números muito pequenos.
  • No fim, fazer a substituição regressiva pra achar as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, monta a matriz aumentada. Nosso sistema é
x1-2x2+3x3 = 2.5, x1-2x2+x3 = 0.5, x1+x2-2x3 = 2.0
A matriz aumentada fica:
[
\bigl[,A\mid b,\bigr]

.
]
Aqui cada linha é uma equação. A teoria: a gente vai escolher um pivô (aqui, l[,Amid b,r] = 1 & -2 & 3 &vline& 2.5 1 & -2 & 1 &vline& 0.5 1 & 1 & -2&vline& 2.0 ) e usar operações de linha pra zerar tudo que está abaixo dele na mesma coluna.

Passo 3

Eliminação na coluna 1 (usar R1 como pivô). Queremos zeros embaixo de R2 = [1, -2, 1mid 0.5] - [1, -2, 3mid 2.5] = [0, 0, -2mid -2] :
  • R2 ← R2 – R1: R3 = [1, 1, -2mid 2.0] - [1, -2, 3mid 2.5] = [0, 3, -5mid -0.5]
  • R3 ← R3 – R1: 1 & -2 & 3 &vline& 2.5 0 & 0 & -2 &vline& -2 0 & 3 & -5 &vline& -0.5
Agora a matriz é

Passo 4

Pivoteamento na coluna 2: a R2 tem zero em 1 & -2 & 3 &vline& 2.5 0 & 3 & -5 &vline& -0.5 0 & 0 & -2 &vline& -2 , então trocamos R2↔R3 pra ter um pivô diferente de zero:
Agora:
  • O pivô em já não tem nada embaixo pra zerar (na linha 3 já é zero).
  • O pivô em também está sozinho.

Passo 5

Substituição regressiva (de baixo pra cima):
  1. Da linha 3: .
  2. Da linha 2:
    substituindo :
    .
  3. Da linha 1:
    substituindo e :
    .

Resposta

(x1,,x2,,x3) = (2.5,;1.5,;1)

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