Resolva os sistemas lineares a seguir utilizando qualquer método linear visto. Efetue as pivotações, quando necessário.
c5 x1+3 x2-6 x3=2,0 3 x1-6 x2+5 x3=2,0 -6 x1+5 x2+3 x3=2,0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver este sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas usando um método de eliminação (Gauss) com pivoteamento:
5x1+3x2-6x3=2,0 3x1-6x2+5x3=2,0 -6x1+5x2+3x3=2,0
Conteúdo: sistemas lineares e eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
O que vamos precisar:
  • Montar a matriz aumentada.
  • Escolher pivôs (os maiores em valor absoluto na coluna) e trocar linhas pra evitar divisão por zero e melhorar a precisão.
  • Zerarmos tudo abaixo de cada pivô por operações de linha.
  • Fazer back-substitution no final.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada e explicamos pivoteamento.
Matriz inicial:
[ ccc|c 5 & 3 & -6 & 2 3 & -6 & 5 & 2 -6 & 5 & 3 & 2 ]
Em eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, para zerar embaixo do pivô na coluna 1, a gente escolhe o maior valor absoluto na coluna 1 (linhas 1–3). Aqui o maior é [ ccc|c -6 & 5 & 3 & 2 3 & -6 & 5 & 2 5 & 3 & -6 & 2 ] (na linha 3), então trocamos linha 1 com linha 3:

Passo 3

Agora nosso pivô é R2 R2 - 3-6,R1 ;=; R2 + tfrac12,R1 em posição R3 R3 - 5-6,R1 ;=; R3 + tfrac56,R1 . A ideia é zerar as entradas abaixo dele (coluna 1).
  • Para zerar em [ ccc|c -6 & 5 & 3 & 2 0 & -tfrac72 & tfrac132 & 3 0 & tfrac436 & -tfrac72 & tfrac113 ] : fazemos
  • Para zerar em :
Cálculo rápido nos dá a nova matriz:

Passo 4

Agora vamos ao segundo pivô, na coluna 2. Olhamos só as linhas 2 e 3 embaixo e escolhemos o maior valor absoluto na coluna 2:
l|-tfrac72r|approx3,5 vs l|tfrac436r|approx7,17
O maior é [ ccc|c -6 & 5 & 3 & 2 0 & tfrac436 & -tfrac72 & tfrac113 0 & -tfrac72 & tfrac132 & 3 ] (linha 3), então trocamos
.
Fica:

Passo 5

Agora zeramos embaixo do pivô m = -tfrac72tfrac436 =,-tfrac72cdottfrac643 =-tfrac2143, R3 R3 - m,R2 = R3 + tfrac2143,R2 na coluna 2, ou seja a posição [ ccc|c -6 & 5 & 3 & 2 0 & tfrac436 & -tfrac72 & tfrac113 0 & 0 & tfrac20643 & tfrac20643 ] .
Fazemos
Isso nos deixa com uma matriz triangular superior:

Passo 6

Agora vem o back-substitution (substituição reversa).
Da terceira linha:
tfrac20643,x3 = tfrac20643 Longrightarrow x3 = 1
Da segunda linha:
tfrac436,x2 ;-;tfrac72cdot x3 = tfrac113 ;Longrightarrow; tfrac436,x2 = tfrac113 + tfrac72 = tfrac226 + tfrac216 = tfrac436 ;Longrightarrow; x2 = 1
Da primeira linha:
-6,x1 +5,x2 +3,x3 = 2 ;Longrightarrow; -6,x1 +5cdot1 +3cdot1 =2 ;Longrightarrow; -6,x1 +8 =2 ;Longrightarrow; x1 = 1

Resposta

boxedx1 = 1, x2 = 1, x3 = 1

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