Resolva os sistemas lineares a seguir utilizando qualquer método linear visto. Efetue as pivotações, quando necessário.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra resolver este sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas usando um método de eliminação (Gauss) com pivoteamento:
Conteúdo: sistemas lineares e eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Montar a matriz aumentada.
- Escolher pivôs (os maiores em valor absoluto na coluna) e trocar linhas pra evitar divisão por zero e melhorar a precisão.
- Zerarmos tudo abaixo de cada pivô por operações de linha.
- Fazer back-substitution no final.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada e explicamos pivoteamento.
Matriz inicial:
Matriz inicial:
Em eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, para zerar embaixo do pivô na coluna 1, a gente escolhe o maior valor absoluto na coluna 1 (linhas 1–3). Aqui o maior é
[ ccc|c -6 & 5 & 3 & 2 3 & -6 & 5 & 2 5 & 3 & -6 & 2 ] (na linha 3), então trocamos linha 1 com linha 3:
Passo 3
Agora nosso pivô é
R2 R2 - 3-6,R1 ;=; R2 + tfrac12,R1 em posição
R3 R3 - 5-6,R1 ;=; R3 + tfrac56,R1 . A ideia é zerar as entradas abaixo dele (coluna 1).
- Para zerar em
: fazemos[ ccc|c -6 & 5 & 3 & 2 0 & -tfrac72 & tfrac132 & 3 0 & tfrac436 & -tfrac72 & tfrac113 ]
- Para zerar em
:
Cálculo rápido nos dá a nova matriz:
Passo 4
Agora vamos ao segundo pivô, na coluna 2. Olhamos só as linhas 2 e 3 embaixo e escolhemos o maior valor absoluto na coluna 2:
O maior é
[ ccc|c -6 & 5 & 3 & 2 0 & tfrac436 & -tfrac72 & tfrac113 0 & -tfrac72 & tfrac132 & 3 ] (linha 3), então trocamos
.
Fica:
Fica:
Passo 5
Agora zeramos embaixo do pivô
m = -tfrac72tfrac436 =,-tfrac72cdottfrac643 =-tfrac2143, R3 R3 - m,R2 = R3 + tfrac2143,R2 na coluna 2, ou seja a posição
[ ccc|c -6 & 5 & 3 & 2 0 & tfrac436 & -tfrac72 & tfrac113 0 & 0 & tfrac20643 & tfrac20643 ] .
Fazemos
Fazemos
Isso nos deixa com uma matriz triangular superior:
Passo 6
Agora vem o back-substitution (substituição reversa).
Da terceira linha:
Da terceira linha:
Da segunda linha:
Da primeira linha: