Resolva os sistemas lineares abaixo pelo Método de Gauss com Pivotamento Parcial.
a) \left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+3 x_{2}+1 x_{3}-1 x_{4} & =6.9 \\\\ -1 x_{1}+1 x_{2}-4 x_{3}+1 x_{4} & =-6.6 \\\\ 1 x_{1}+1 x_{2}+1 x_{3}+1 x_{4} & =10.2 \\\\ 4 x_{1}-5 x_{2}+1 x_{3}-2 x_{4} & =-12.3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}-x_{4}=6.9,\\\\ -\,x_{1}+x_{2}-4x_{3}+x_{4}=-6.6,\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10.2,\\\\ 4x_{1}-5x_{2}+x_{3}-2x_{4}=-12.3 \end{cases}
pelo método de Gauss com pivotamento parcial. Vamos montar a matriz aumentada, escolher pivôs de maior módulo em cada coluna, trocar linhas quando necessário, eliminar para chegar a uma matriz triangular superior e depois fazer substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & 3 & 1 & -1 & 6.9\\\\ -1 & 1 & -4 & 1 & -6.6\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 10.2\\\\ 4 & -5 & 1 & -2 & -12.3 \end{array}\right].

Passo 3

Coluna 1: os módulos são \{2,1,1,4\}; o maior é 4 na linha 4. Trocamos R_{1}\leftrightarrow R_{4}:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 4 & -5 & 1 & -2 & -12.3\\\\ -1 & 1 & -4 & 1 & -6.6\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 10.2\\\\ 2 & 3 & 1 & -1 & 6.9 \end{array}\right].
Eliminamos abaixo do pivô 4:
\begin{aligned} R_{2}&\leftarrow R_{2}-\bigl(-\tfrac14\bigr)R_{1},& R_{3}&\leftarrow R_{3}-\bigl(\tfrac14\bigr)R_{1},& R_{4}&\leftarrow R_{4}-\bigl(\tfrac12\bigr)R_{1}. \end{aligned}
Resultado:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 4 & -5 & 1 & -2 & -12.3\\\\ 0 & -0.25 & -3.75 & 0.5 & -9.675\\\\ 0 & 2.25 & 0.75 & 1.5 & 13.275\\\\ 0 & 5.5 & 0.5 & 0 & 13.05 \end{array}\right].

Passo 4

Coluna 2 (linhas 2–4): módulos \{0.25,2.25,5.5\}; o maior é 5.5 em R_{4}. Trocamos R_{2}\leftrightarrow R_{4}:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 4 & -5 & 1 & -2 & -12.3\\\\ 0 & 5.5 & 0.5 & 0 & 13.05\\\\ 0 & 2.25 & 0.75 & 1.5 & 13.275\\\\ 0 & -0.25 & -3.75 & 0.5 & -9.675 \end{array}\right].
Eliminamos abaixo do pivô 5.5:
\begin{aligned} R_{3}&\leftarrow R_{3}-\bigl(\tfrac{2.25}{5.5}\bigr)R_{2},& R_{4}&\leftarrow R_{4}-\bigl(-\tfrac{0.25}{5.5}\bigr)R_{2}. \end{aligned}
Resultado:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 4 & -5 & 1 & -2 & -12.3\\\\ 0 & 5.5 & 0.5 & 0 & 13.05\\\\ 0 & 0 & 0.545455 & 1.5 & 7.93632\\\\ 0 & 0 & -3.72727 & 0.5 & -9.081818 \end{array}\right].

Passo 5

Coluna 3 (linhas 3–4): módulos \{0.545455,3.72727\}; o maior é 3.72727 em R_{4}. Trocamos R_{3}\leftrightarrow R_{4}:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 4 & -5 & 1 & -2 & -12.3\\\\ 0 & 5.5 & 0.5 & 0 & 13.05\\\\ 0 & 0 & -3.72727 & 0.5 & -9.081818\\\\ 0 & 0 & 0.545455 & 1.5 & 7.93632 \end{array}\right].
Eliminamos abaixo do pivô -3.72727:
R_{4}\leftarrow R_{4}-\Bigl(\tfrac{0.545455}{-3.72727}\Bigr)R_{3}.
Fica:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 4 & -5 & 1 & -2 & -12.3\\\\ 0 & 5.5 & 0.5 & 0 & 13.05\\\\ 0 & 0 & -3.72727 & 0.5 & -9.081818\\\\ 0 & 0 & 0 & 1.57318 & 6.60723 \end{array}\right].

Passo 6

Substituição regressiva:
Da última linha,
1.57318\,x_{4}=6.60723 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}\approx4.1989.
Linha 3,
-3.72727\,x_{3}+0.5\,x_{4}=-9.081818 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}\approx3.0000.
Linha 2,
5.5\,x_{2}+0.5\,x_{3}=13.05 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}\approx2.1000.
Linha 1,
4\,x_{1}-5\,x_{2}+x_{3}-2\,x_{4}=-12.3 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\approx0.8995.

Resposta

x_{1}\approx0.8995,\quad x_{2}\approx2.1000,\quad x_{3}\approx3.0000,\quad x_{4}\approx4.1989

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