Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=2 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=1 \\\\ 2 x_{2}+x_{3}=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e nos fornece três equações com três incógnitas. As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3}\) e as equações dadas são: \[\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=2,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{2}+x_{3}=-2. \end{cases}
A tarefa é encontrar os valores de (x_{1},x_{2},x_{3}] que satisfazem essas três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou organizar o sistema numa forma compacta (matriz aumentada) para aplicar operações elementares de linha. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right],
onde cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o lado direito.
Explicando rápido as operações que posso usar (coisa útil na prova): posso trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, ou somar a uma linha um múltiplo de outra. O objetivo é triangularizar a matriz (ou chegar à forma reduzida) para resolver as incógnitas por substituição.]

Passo 3

Primeiro objetivo: eliminar o x_{1} nas linhas 2 e 3. Já temos 1 na posição pivô (1,1), então faço a operação na linha 2:
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 2\text{L}_1.
Calculemos componente a componente:
  • coluna 1: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • coluna 2: 1 - 2\cdot(-2) = 1 + 4 = 5,
  • coluna 3: -3 - 2\cdot(-2) = -3 + 4 = 1,
  • coluna aumentada: 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 5 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora trabalhamos na submatriz das linhas 2 e 3 para eliminar x_{2} na linha 3. É prático primeiro tornar o pivô da linha 2 igual a 1. Faço
\text{L}_2 \leftarrow \frac{1}{5}\text{L}_2,
obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right].
Explicando: dividir a linha pelo elemento pivô facilita eliminar abaixo sem introduzir frações desnecessárias depois.]

Passo 5

Elimino o x_{2} da linha 3 usando a linha 2:
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - 2\text{L}_2.
Calculemos cada entrada:
  • coluna 2: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • coluna 3: 1 - 2\cdot \tfrac{1}{5} = 1 - \tfrac{2}{5} = \tfrac{3}{5},
  • coluna aumentada: -2 - 2\cdot\big(-\tfrac{3}{5}\big) = -2 + \tfrac{6}{5} = -\tfrac{4}{5}.
A matriz passou a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \end{array}\right].]

Passo 6

Agora temos uma equação só em x_{3} na linha 3. Para isolar x_{3} deixo o pivô igual a 1 dividindo a linha 3 por \tfrac{3}{5} (ou multiplicando por \tfrac{5}{3}):
\text{L}_3 \leftarrow \frac{5}{3}\text{L}_3.
Isso dá a linha 3 como
\bigl[\,0\;\;0\;\;1\;\big|\; -\tfrac{4}{3}\,\bigr],
ou seja
x_{3} = -\tfrac{4}{3}.
Breve comentário sobre aritmética de frações: para dividir por \tfrac{3}{5} multiplica-se por \tfrac{5}{3}, e -\tfrac{4}{5}\cdot \tfrac{5}{3} = -\tfrac{4}{3}.

Passo 7

Volto à linha 2 para encontrar x_{2}. A linha 2 é
x_{2} + \tfrac{1}{5}x_{3} = -\tfrac{3}{5}.
Substituindo x_{3} = -\tfrac{4}{3},
x_{2} = -\tfrac{3}{5} - \tfrac{1}{5}\cdot\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = -\tfrac{3}{5} + \tfrac{4}{15}.
Colocando em denominador comum 15:
x_{2} = -\tfrac{9}{15} + \tfrac{4}{15} = -\tfrac{5}{15} = -\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Finalmente, uso a primeira equação para achar x_{1}. A primeira equação é
x_{1} - 2x_{2} - 2x_{3} = 2.
Substituindo x_{2} = -\tfrac{1}{3} e x_{3} = -\tfrac{4}{3},
x_{1} = 2 + 2x_{2} + 2x_{3} = 2 + 2\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) + 2\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = 2 - \tfrac{2}{3} - \tfrac{8}{3}.
Comum denominador 3:
x_{1} = \tfrac{6}{3} - \tfrac{2}{3} - \tfrac{8}{3} = -\tfrac{4}{3}.

Passo 9

(Faço uma checagem rápida substituindo os valores nas três equações para ganhar confiança: com x_{1}=-\tfrac{4}{3}, x_{2}=-\tfrac{1}{3}, x_{3}=-\tfrac{4}{3} todas as três equações ficam verdadeiras — isso confirma que a solução está correta.)

Resposta

x_{1}=-\tfrac{4}{3}
x_{2}=-\tfrac{1}{3}
x_{3}=-\tfrac{4}{3}

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