Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan. \left\{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=2 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=1 \\\\ 2 x_{2}+x_{3}=-2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear e nos fornece três equações com três incógnitas. As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3}\) e as equações dadas são:
\[\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=2,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{2}+x_{3}=-2. \end{cases}
A tarefa é encontrar os valores de (x_{1},x_{2},x_{3}] que satisfazem essas três equações simultaneamente.]
Passo 2
Vou organizar o sistema numa forma compacta (matriz aumentada) para aplicar operações elementares de linha. A matriz aumentada é
onde cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o lado direito.
Explicando rápido as operações que posso usar (coisa útil na prova): posso trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, ou somar a uma linha um múltiplo de outra. O objetivo é triangularizar a matriz (ou chegar à forma reduzida) para resolver as incógnitas por substituição.]
Passo 3
Primeiro objetivo: eliminar o x_{1} nas linhas 2 e 3. Já temos 1 na posição pivô (1,1), então faço a operação na linha 2:
Agora temos uma equação só em x_{3} na linha 3. Para isolar x_{3} deixo o pivô igual a 1 dividindo a linha 3 por \tfrac{3}{5} (ou multiplicando por \tfrac{5}{3}):
Breve comentário sobre aritmética de frações: para dividir por \tfrac{3}{5} multiplica-se por \tfrac{5}{3}, e -\tfrac{4}{5}\cdot \tfrac{5}{3} = -\tfrac{4}{3}.
(Faço uma checagem rápida substituindo os valores nas três equações para ganhar confiança: com x_{1}=-\tfrac{4}{3}, x_{2}=-\tfrac{1}{3}, x_{3}=-\tfrac{4}{3} todas as três equações ficam verdadeiras — isso confirma que a solução está correta.)