Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{l}x_{2}-4 x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}=1 \\\\ 5 x_{1}-8 x_{2}+7 x_{3}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando eliminação de Gauss ou Gauss–Jordan. As equações dadas são:
\begin{cases} x_{2}-4x_{3}=8,\\[4pt] 2x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1,\\[4pt] 5x_{1}-8x_{2}+7x_{3}=1. \end{cases}
Queremos encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem simultaneamente essas três equações, ou concluir que não existe solução.]

Passo 2

Vou usar eliminação (Gauss/Gauss–Jordan) transformando o sistema na matriz aumentada e aplicando operações elementares de linha. Lembrando rapidamente: operações elementares permitidas são
\text{(i) trocar duas linhas},\qquad \text{(ii) multiplicar uma linha por constante não nula},\qquad \text{(iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.}ãú
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
A matriz aumentada do sistema na ordem (x_{1},x_{2},x_{3}) é
\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -4 & 8\\[4pt] 2 & -3 & 2 & 1\\[4pt] 5 & -8 & 7 & 1 \end{array}\right).]

Passo 3

Como a primeira linha tem zero na primeira coluna, trocamos linhas para obter um pivô não nulo na posição (1,1). Faço R_{1}\leftrightarrow R_{2}. A matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 8\\[4pt] 5 & -8 & 7 & 1 \end{array}\right).
Agora o pivô na primeira coluna é 2 (linha 1).]

Passo 4

Elimino o termo abaixo do pivô na coluna 1 (zerar a entrada na linha 3, coluna 1). Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-\dfrac{5}{2}R_{1}. Calculo cada entrada de R_{3}:
  • Primeira coluna: 5-\dfrac{5}{2}\cdot 2=5-5=0.
  • Segunda coluna: -8-\dfrac{5}{2}\cdot(-3)=-8+\dfrac{15}{2}=-\dfrac{16}{2}+\dfrac{15}{2}=-\dfrac{1}{2}.
  • Terceira coluna: 7-\dfrac{5}{2}\cdot 2=7-5=2.
  • Termo independente: 1-\dfrac{5}{2}\cdot 1=1-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{3}{2}.
Assim a matriz passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 8\\[4pt] 0 & -\dfrac{1}{2} & 2 & -\dfrac{3}{2} \end{array}\right).]

Passo 5

Agora usamos o pivô da segunda linha (que é 1 na coluna 2) para zerar as outras entradas da coluna 2 (Gauss–Jordan parcial). Primeiro zera na linha 1: faço R_{1}\leftarrow R_{1}+3R_{2}.
Cálculo de R_{1}+3R_{2}:
  • Primeira coluna: 2+3\cdot 0=2.
  • Segunda coluna: -3+3\cdot 1=0.
  • Terceira coluna: 2+3\cdot(-4)=2-12=-10.
  • Independente: 1+3\cdot 8=1+24=25.
Então R_{1} vira (2,0,-10\mid 25).
Agora zero a entrada na linha 3, coluna 2: faço R_{3}\leftarrow R_{3}+\dfrac{1}{2}R_{2}.
Cálculo de R_{3}+\dfrac{1}{2}R_{2}:
  • Primeira coluna: 0+\dfrac{1}{2}\cdot 0=0.
  • Segunda coluna: -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 1=0.
  • Terceira coluna: 2+\dfrac{1}{2}\cdot(-4)=2-2=0.
  • Independente: -\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 8=-\dfrac{3}{2}+4=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{2}=\dfrac{5}{2}.
A matriz resultante é
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & -10 & 25\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \dfrac{5}{2} \end{array}\right).]

Passo 6

A terceira linha agora corresponde à equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=\dfrac{5}{2},
ou seja \,0=\dfrac{5}{2}\,, que é uma contradição impossível. Sempre que, na forma escalonada, aparece uma linha da forma (0\\\ 0\\\ 0\mid c) com c\neq 0, isso significa que o sistema é incompatível — não existe vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Portanto, não há solução para o sistema.

Resposta

Sistema incompatível (não existe solução).

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