Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan. \left\{\begin{array}{l}x_{2}-4 x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}=1 \\\\ 5 x_{1}-8 x_{2}+7 x_{3}=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear usando eliminação de Gauss ou Gauss–Jordan. As equações dadas são:
Queremos encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem simultaneamente essas três equações, ou concluir que não existe solução.]
Passo 2
Vou usar eliminação (Gauss/Gauss–Jordan) transformando o sistema na matriz aumentada e aplicando operações elementares de linha. Lembrando rapidamente: operações elementares permitidas são
\text{(i) trocar duas linhas},\qquad \text{(ii) multiplicar uma linha por constante não nula},\qquad \text{(iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.}ãú
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
A matriz aumentada do sistema na ordem (x_{1},x_{2},x_{3}) é
Como a primeira linha tem zero na primeira coluna, trocamos linhas para obter um pivô não nulo na posição (1,1). Faço R_{1}\leftrightarrow R_{2}. A matriz fica
Elimino o termo abaixo do pivô na coluna 1 (zerar a entrada na linha 3, coluna 1). Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-\dfrac{5}{2}R_{1}. Calculo cada entrada de R_{3}:
Primeira coluna: 5-\dfrac{5}{2}\cdot 2=5-5=0.
Segunda coluna: -8-\dfrac{5}{2}\cdot(-3)=-8+\dfrac{15}{2}=-\dfrac{16}{2}+\dfrac{15}{2}=-\dfrac{1}{2}.
Terceira coluna: 7-\dfrac{5}{2}\cdot 2=7-5=2.
Termo independente: 1-\dfrac{5}{2}\cdot 1=1-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{3}{2}.
Agora usamos o pivô da segunda linha (que é 1 na coluna 2) para zerar as outras entradas da coluna 2 (Gauss–Jordan parcial). Primeiro zera na linha 1: faço R_{1}\leftarrow R_{1}+3R_{2}.
Cálculo de R_{1}+3R_{2}:
Primeira coluna: 2+3\cdot 0=2.
Segunda coluna: -3+3\cdot 1=0.
Terceira coluna: 2+3\cdot(-4)=2-12=-10.
Independente: 1+3\cdot 8=1+24=25.
Então R_{1} vira (2,0,-10\mid 25).
Agora zero a entrada na linha 3, coluna 2: faço R_{3}\leftarrow R_{3}+\dfrac{1}{2}R_{2}.
Cálculo de R_{3}+\dfrac{1}{2}R_{2}:
Primeira coluna: 0+\dfrac{1}{2}\cdot 0=0.
Segunda coluna: -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 1=0.
ou seja \,0=\dfrac{5}{2}\,, que é uma contradição impossível. Sempre que, na forma escalonada, aparece uma linha da forma (0\\\ 0\\\ 0\mid c) com c\neq 0, isso significa que o sistema é incompatível — não existe vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações simultaneamente.