Seja o sistema
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\\ -9 & 5 & 6 \\\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 4 \\\ 11 \\\ -2 \end{array}\right]
Determinar a solução do sistema utilizando o método de eliminação de Gauss sem pivoteamento.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede para determinar a solução usando o método de eliminação de Gauss sem pivoteamento:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] -9 & 5 & 6\\[4pt] -1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\[4pt] 11\\[4pt] -2 \end{pmatrix}
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] -9 & 5 & 6\\[4pt] -1 & 1 & -3 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]11\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar \;x_1,x_2,x_3\; que satisfazem o sistema, aplicando eliminação de Gauss sem trocar linhas (sem pivoteamento).]

Passo 2

Breve explicação do procedimento que usaremos (sem trocar linhas): em eliminação de Gauss gera-se uma matriz triangular superior aplicando operações elementares do tipo "linha j <- linha j - m_{ji}·linha i", onde o multiplicador é
m_{ji}=\frac{a_{ji}}{a_{ii}}.
Esse multiplicador anula a entrada a_{ji} (coluna i, linha j). Vou aplicar isso primeiro para eliminar as entradas abaixo de a_{11}=2 (coluna 1).
Calcule os multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-9}{2}=-\frac{9}{2}, \qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
Agora faço as operações nas linhas 2 e 3:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - m_{21}\cdot\text{linha}_1 \qquad\text{e}\qquad \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{31}\cdot\text{linha}_1.

Passo 3

Calculemos cada entrada nova da linha 2:
  • Para o segundo elemento da linha 2:
a'_{22}=5 - \left(-\frac{9}{2}\right)\cdot 3 =5 + \frac{27}{2} =\frac{10}{2}+\frac{27}{2} =\frac{37}{2}.
  • Para o terceiro elemento da linha 2:
a'_{23}=6 - \left(-\frac{9}{2}\right)\cdot 1 =6 + \frac{9}{2} =\frac{12}{2}+\frac{9}{2} =\frac{21}{2}.
  • Para o termo do lado direito da linha 2:
b'_2=11 - \left(-\frac{9}{2}\right)\cdot 4 =11 + \frac{36}{2} =11 + 18 =29.
Agora a linha 2 nova é \displaystyle\bigl[0,\;\tfrac{37}{2},\;\tfrac{21}{2}\bigr\} com b'_2=29.
Calculemos cada entrada nova da linha 3:
  • Para o segundo elemento da linha 3:
a'_{32}=1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 3 =1 + \frac{3}{2} =\frac{2}{2}+\frac{3}{2} =\frac{5}{2}.
  • Para o terceiro elemento da linha 3:
a'_{33}=-3 - \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 1 =-3 + \frac{1}{2} =-\frac{6}{2}+\frac{1}{2} =-\frac{5}{2}.
  • Para o termo do lado direito da linha 3:
b'_3=-2 - \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 4 =-2 + 2 =0.
Agora a linha 3 nova é \displaystyle\bigl[0,\;\tfrac{5}{2},\;-\tfrac{5}{2}\bigr\} com b'_3=0.
A matriz aumentada após essas operações é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 4\\[4pt] 0 & \tfrac{37}{2} & \tfrac{21}{2} & 29\\[4pt] 0 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{5}{2} & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha a'_{22}=\tfrac{37}{2} para zerar a entrada a'_{32}=\tfrac{5}{2}. O multiplicador é
m_{32}=\frac{a'_{32}}{a'_{22}} =\frac{\tfrac{5}{2}}{\tfrac{37}{2}} =\frac{5}{37}.
Aplicamos
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{32}\cdot\text{linha}_2.
Calcule as entradas da nova linha 3:
  • A nova segunda entrada fica zero por construção.
  • Para a terceira entrada:
a''_{33}=-\frac{5}{2} - \frac{5}{37}\cdot\frac{21}{2}.
Colocando em denominador comum 74:
-\frac{5}{2}=-\frac{185}{74},\qquad \frac{5}{37}\cdot\frac{21}{2}=\frac{105}{74},
logo
a''_{33}=-\frac{185}{74}-\frac{105}{74}=-\frac{290}{74}=-\frac{145}{37}.
  • Para o lado direito:
b''_3=0 - \frac{5}{37}\cdot 29 = -\frac{145}{37}.
Portanto a linha 3 final é \displaystyle\bigl[0,\;0,\;-\tfrac{145}{37}\bigr\} com b''_3=-\tfrac{145}{37}.

Passo 5

A matriz aumentada está agora em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 4\\[4pt] 0 & \tfrac{37}{2} & \tfrac{21}{2} & 29\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{145}{37} & -\tfrac{145}{37} \end{array}\right].
Agora resolvemos por substituição regressiva (back-substitution).]

Passo 6

Resolver a partir da última equação:
  • Da linha 3:
-\frac{145}{37}\,x_3=-\frac{145}{37}\quad\Rightarrow\quad x_3=1.
  • Da linha 2:
\frac{37}{2}\,x_2+\frac{21}{2}\,x_3=29.
Substituindo x_3=1:
\frac{37}{2}\,x_2+\frac{21}{2}=29 \quad\Rightarrow\quad \frac{37}{2}\,x_2=29-\frac{21}{2}=\frac{58}{2}-\frac{21}{2}=\frac{37}{2},
portanto
x_2=1.
  • Da linha 1:
2\,x_1+3\,x_2+1\cdot x_3=4.
Substituindo x_2=1 e x_3=1:
2\,x_1+3\cdot 1+1\cdot 1=4 \quad\Rightarrow\quad 2\,x_1+4=4 \quad\Rightarrow\quad x_1=0.

Passo 7

Verificação rápida (substituir (x_1,x_2,x_3)=(0,1,1) nas equações originais):
  • Primeira equação:
2\cdot 0 + 3\cdot 1 + 1\cdot 1 = 0+3+1=4\quad\checkmark
  • Segunda equação:
-9\cdot 0 + 5\cdot 1 + 6\cdot 1 = 0+5+6=11\quad\checkmark
  • Terceira equação:
-1\cdot 0 + 1\cdot 1 -3\cdot 1 = 0+1-3=-2\quad\checkmark
Tudo confere, solução correta.

Resposta

x_{1}=0\
x_{2}=1\
x_{3}=1

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