Seja o sistema
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\\ -9 & 5 & 6 \\\ -1 & 1 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 4 \\\ 11 \\\ -2 \end{array}\right]
Determinar a solução do sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com matriz dos coeficientes e o vetor do termo independente:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\\\ -9 & 5 & 6 \\\\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\[4pt] x_{2} \\[4pt] x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\[4pt] 11 \\[4pt] -2 \end{pmatrix}
Pergunta: determinar a solução do sistema usando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes de cada equação estão na matriz acima e os termos independentes estão no vetor à direita.]

Passo 2

Explicação didática do método pedido (sem pular etapas). Pivoteamento parcial significa, em cada coluna onde eliminamos, escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas disponíveis (a partir da linha atual) e, se necessário, trocar linhas para levar esse maior elemento para a posição do pivô. Isso reduz erros numéricos e evita pivôs pequenos que atrapalham o processo.
A eliminação usa multiplicadores para zerar entradas abaixo do pivô: suponha que, numa etapa, o pivô seja a_{kk} (não nulo) e queremos zerar a entrada a_{ik} com i>k. Definimos o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}.
Depois substituímos a linha i por
\text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ik}\cdot \text{linha}_k,
o que torna a nova entrada na coluna k igual a zero. Repetimos para todas as colunas até obter uma matriz triangular superior; então resolvemos por substituição regressiva.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo ao sistema dado.

Passo 3

Escrevo o sistema na forma aumentada (matriz aumentada):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 4 \\\\ -9 & 5 & 6 & 11 \\\\ -1 & 1 & -3 & -2 \end{array}\right]
Primeira etapa: escolher pivô na coluna 1 entre as linhas 1,2,3. Os valores na coluna são 2,\,-9,\,-1; seus valores absolutos são 2,\,9,\,1. O maior valor absoluto é 9, que está em a_{21}=-9. Pelo pivoteamento parcial, trocamos a linha 1 com a linha 2 para colocar esse maior valor na posição de pivô.
Após trocar linha 1 e linha 2, a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} -9 & 5 & 6 & 11 \\\\ 2 & 3 & 1 & 4 \\\\ -1 & 1 & -3 & -2 \end{array}\right]

Passo 4

Agora eliminamos as entradas abaixo do pivô a_{11}=-9.
Calculamos os multiplicadores:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2}{-9}=-\frac{2}{9}, \qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-1}{-9}=\frac{1}{9}.
Aplicamos as operações \text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - m_{21}\cdot \text{linha}_1 e \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{31}\cdot \text{linha}_1.
Detalhando os cálculos:
Para a nova linha 2:
  • primeira entrada: 2 - m_{21}(-9)=2 - \big(-\tfrac{2}{9}\big)(-9)=2 + \tfrac{2}{9}\cdot(-9)=2-2=0 (confere que zera);
  • segunda entrada: 3 - m_{21}\cdot 5=3 - \big(-\tfrac{2}{9}\big)\cdot 5=3 + \tfrac{10}{9}=\tfrac{27}{9}+\tfrac{10}{9}=\tfrac{37}{9};
  • terceira entrada: 1 - m_{21}\cdot 6=1 - \big(-\tfrac{2}{9}\big)\cdot 6=1 + \tfrac{12}{9}=1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{7}{3};
  • termo independente: 4 - m_{21}\cdot 11=4 - \big(-\tfrac{2}{9}\big)\cdot 11=4 + \tfrac{22}{9}=\tfrac{36}{9}+\tfrac{22}{9}=\tfrac{58}{9}.
Logo a nova linha 2 é \big[0,\; \tfrac{37}{9},\; \tfrac{7}{3}\;|\;\tfrac{58}{9}\big].
Para a nova linha 3:
  • primeira entrada: -1 - m_{31}(-9)=-1 - \tfrac{1}{9}\cdot(-9)=-1+1=0;
  • segunda entrada: 1 - m_{31}\cdot 5=1 - \tfrac{1}{9}\cdot 5=1-\tfrac{5}{9}=\tfrac{4}{9};
  • terceira entrada: -3 - m_{31}\cdot 6=-3 - \tfrac{1}{9}\cdot 6=-3-\tfrac{6}{9}=-3-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{11}{3};
  • termo independente: -2 - m_{31}\cdot 11=-2 - \tfrac{1}{9}\cdot 11=-2-\tfrac{11}{9}=-\tfrac{29}{9}.
Nova matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} -9 & 5 & 6 & 11 \\\\ 0 & \tfrac{37}{9} & \tfrac{7}{3} & \tfrac{58}{9} \\\\ 0 & \tfrac{4}{9} & -\tfrac{11}{3} & -\tfrac{29}{9} \end{array}\right]

Passo 5

Passamos à coluna 2. Pelo pivoteamento parcial, entre as linhas 2 e 3 escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto na coluna 2. Os valores são \tfrac{37}{9} (aprox. 4{,}11) e \tfrac{4}{9} (aprox. 0{,}44). O maior em módulo é \tfrac{37}{9}, que já está na linha 2, então não é necessário trocar linhas.

Passo 6

Eliminamos a entrada a_{32}=\tfrac{4}{9} usando o multiplicador
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{\tfrac{4}{9}}{\tfrac{37}{9}}=\frac{4}{37}.
Fazemos \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{32}\cdot\text{linha}_2.
Cálculos detalhados:
  • terceira coluna da linha 3:
-\tfrac{11}{3} - \frac{4}{37}\cdot \tfrac{7}{3} = \frac{1}{3}\Big(-11 - \frac{28}{37}\Big) = \frac{1}{3}\cdot\frac{-407-28}{37} = \frac{1}{3}\cdot\frac{-435}{37} = -\frac{435}{111} = -\frac{145}{37}.
  • termo independente da linha 3:
-\tfrac{29}{9} - \frac{4}{37}\cdot \tfrac{58}{9} = \frac{1}{9}\Big(-29 - \frac{232}{37}\Big) = \frac{1}{9}\cdot\frac{-1073-232}{37} = \frac{1}{9}\cdot\frac{-1305}{37} = -\frac{1305}{333} = -\frac{145}{37}.
A segunda entrada vira zero por construção. Assim a nova linha 3 é
\big[0,\;0,\; -\tfrac{145}{37}\;|\; -\tfrac{145}{37}\big].
A matriz aumentada triangular superior é:
\left[\begin{array}{ccc|c} -9 & 5 & 6 & 11 \\\\ 0 & \tfrac{37}{9} & \tfrac{7}{3} & \tfrac{58}{9} \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{145}{37} & -\tfrac{145}{37} \end{array}\right]

Passo 7

Agora aplicamos substituição regressiva para obter x_{3},x_{2},x_{1} em ordem.
Da terceira linha temos
-\tfrac{145}{37}\,x_{3} = -\tfrac{145}{37}.
Dividindo ambos os lados por -\tfrac{145}{37} obtemos
x_{3} = 1.
Da segunda linha:
\tfrac{37}{9}\,x_{2} + \tfrac{7}{3}\,x_{3} = \tfrac{58}{9}.
Substituindo x_{3}=1:
\tfrac{37}{9}\,x_{2} + \tfrac{7}{3} = \tfrac{58}{9}.
Escrevendo \tfrac{7}{3}=\tfrac{21}{9}, temos
\tfrac{37}{9}\,x_{2} = \tfrac{58}{9} - \tfrac{21}{9} = \tfrac{37}{9},
logo
x_{2} = 1.
Da primeira (linha 1, que veio da troca inicial) temos
-9\,x_{1} + 5\,x_{2} + 6\,x_{3} = 11.
Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=1:
-9\,x_{1} + 5 + 6 = 11 \quad\Rightarrow\quad -9\,x_{1} + 11 = 11 \quad\Rightarrow\quad -9\,x_{1} = 0,
portanto
x_{1} = 0.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,1,1)

Exercícios relacionados