Pergunta: determinar a solução do sistema usando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes de cada equação estão na matriz acima e os termos independentes estão no vetor à direita.]
Passo 2
Explicação didática do método pedido (sem pular etapas). Pivoteamento parcial significa, em cada coluna onde eliminamos, escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas disponíveis (a partir da linha atual) e, se necessário, trocar linhas para levar esse maior elemento para a posição do pivô. Isso reduz erros numéricos e evita pivôs pequenos que atrapalham o processo.
A eliminação usa multiplicadores para zerar entradas abaixo do pivô: suponha que, numa etapa, o pivô seja a_{kk} (não nulo) e queremos zerar a entrada a_{ik} com i>k. Definimos o multiplicador
o que torna a nova entrada na coluna k igual a zero. Repetimos para todas as colunas até obter uma matriz triangular superior; então resolvemos por substituição regressiva.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo ao sistema dado.
Passo 3
Escrevo o sistema na forma aumentada (matriz aumentada):
Primeira etapa: escolher pivô na coluna 1 entre as linhas 1,2,3. Os valores na coluna são 2,\,-9,\,-1; seus valores absolutos são 2,\,9,\,1. O maior valor absoluto é 9, que está em a_{21}=-9. Pelo pivoteamento parcial, trocamos a linha 1 com a linha 2 para colocar esse maior valor na posição de pivô.
Após trocar linha 1 e linha 2, a matriz aumentada fica:
Passamos à coluna 2. Pelo pivoteamento parcial, entre as linhas 2 e 3 escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto na coluna 2. Os valores são \tfrac{37}{9} (aprox. 4{,}11) e \tfrac{4}{9} (aprox. 0{,}44). O maior em módulo é \tfrac{37}{9}, que já está na linha 2, então não é necessário trocar linhas.
Passo 6
Eliminamos a entrada a_{32}=\tfrac{4}{9} usando o multiplicador