Considere o seguinte sistema de equações lineares: \begin{cases}7 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3} & =-12 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3} & =-20 \\\ x_{1}-x_{2}-6 x_{3} & =-26\end{cases}
a) Obtenha a fatoração LU da matriz A.
b) Multiplique as matrizes L e U resultantes para verificar que A é produzida.
c) Utilize a decomposição LU para resolver o sistema linear.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
O que se pede:
(a) obter a fatoração LU de A (ou seja, matrizes L e U tais que A=LU);
(b) multiplicar L e U para checar que a multiplicação produz A;
(c) usar a decomposição LU para resolver A x=b.]
Passo 2
Método escolhido e ideia básica (passo-a-passo do que vou fazer).
Vou usar a fatoração do tipo Doolittle: L terá diagonal principal formada por 1s e U será triangular superior. Esse método equivale a registrar, durante a eliminação de Gauss, os multiplicadores usados para zerar abaixo dos pivôs; esses multiplicadores formam os elementos de L.
Procedimento prático:
Usar o primeiro pivô a_{11}=7 para zerar as entradas abaixo (coluna 1), calculando os multiplicadores l_{21} e l_{31}.
Atualizar as linhas 2 e 3; o que restar na primeira linha e nas linhas atualizadas fornece a primeira e segunda linhas de U.
Usar o segundo pivô (o elemento U_{22} já obtido) para calcular l_{32} e zerar abaixo, obtendo U_{33}.
Montar L com 1s na diagonal e os multiplicadores abaixo dela, e U com os valores obtidos.
Vou explicar cada cálculo, mostrando como obter L e U explicitamente.
Passo 3
Primeira etapa da eliminação: zerar as entradas abaixo de a_{11}=7.
Calculam-se os multiplicadores:
l_{21}=\frac{2}{7},\qquad l_{31}=\frac{1}{7}.
Esses números significam: para zerar o elemento a_{21}=2 subtrai-se l_{21} vezes a linha 1 da linha 2; similar para a linha 3.
(O cálculo intermediário foi mostrado para controle; o resultado final é -6.)
Portanto a terceira linha de LU é [1,\,-1,\,-6], que é a terceira linha de A.
Conclusão: LU=A. Isso responde (b).]
Passo 7
Agora uso a decomposição LU para resolver o sistema A x=b. A ideia é resolver primeiro L y=b por substituição direta (forward substitution), depois resolver U x = y por retro-substituição (back substitution).