Considere o seguinte sistema de equações lineares: \begin{cases}7 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3} & =-12 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3} & =-20 \\\ x_{1}-x_{2}-6 x_{3} & =-26\end{cases}
a) Obtenha a fatoração LU da matriz A.
b) Multiplique as matrizes L e U resultantes para verificar que A é produzida.
c) Utilize a decomposição LU para resolver o sistema linear.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O sistema linear é
\begin{cases} 7x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=-12,\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}-3x_{3}=-20,\\[4pt] x_{1}-x_{2}-6x_{3}=-26. \end{cases}
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\[4pt] 2 & 5 & -3\\[4pt] 1 & -1 & -6 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}-12\\[4pt]-20\\[4pt]-26\end{pmatrix}.
O que se pede:
(a) obter a fatoração LU de A (ou seja, matrizes L e U tais que A=LU);
(b) multiplicar L e U para checar que a multiplicação produz A;
(c) usar a decomposição LU para resolver A x=b.]

Passo 2

Método escolhido e ideia básica (passo-a-passo do que vou fazer).
  • Vou usar a fatoração do tipo Doolittle: L terá diagonal principal formada por 1s e U será triangular superior. Esse método equivale a registrar, durante a eliminação de Gauss, os multiplicadores usados para zerar abaixo dos pivôs; esses multiplicadores formam os elementos de L.
  • Procedimento prático:
    1. Usar o primeiro pivô a_{11}=7 para zerar as entradas abaixo (coluna 1), calculando os multiplicadores l_{21} e l_{31}.
    2. Atualizar as linhas 2 e 3; o que restar na primeira linha e nas linhas atualizadas fornece a primeira e segunda linhas de U.
    3. Usar o segundo pivô (o elemento U_{22} já obtido) para calcular l_{32} e zerar abaixo, obtendo U_{33}.
    4. Montar L com 1s na diagonal e os multiplicadores abaixo dela, e U com os valores obtidos.
  • Vou explicar cada cálculo, mostrando como obter L e U explicitamente.

Passo 3

Primeira etapa da eliminação: zerar as entradas abaixo de a_{11}=7.
  • Calculam-se os multiplicadores:
l_{21}=\frac{2}{7},\qquad l_{31}=\frac{1}{7}.
Esses números significam: para zerar o elemento a_{21}=2 subtrai-se l_{21} vezes a linha 1 da linha 2; similar para a linha 3.
  • Atualizo a linha 2:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - l_{21}\cdot \text{linha}_1.
Calculemos cada entrada:
\begin{aligned} &0 = 2 - l_{21}\cdot 7 = 2 - \frac{2}{7}\cdot 7,\\[4pt] &\frac{31}{7} = 5 - l_{21}\cdot 2 = 5 - \frac{2}{7}\cdot 2,\\[4pt] &-\frac{15}{7} = -3 - l_{21}\cdot(-3) = -3 - \frac{2}{7}\cdot(-3). \end{aligned}
Logo a nova linha 2 é \bigl[0,\; \tfrac{31}{7},\; -\tfrac{15}{7}\bigr].
  • Atualizo a linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - l_{31}\cdot \text{linha}_1.
Calculemos:
\begin{aligned} &0 = 1 - l_{31}\cdot 7 = 1 - \frac{1}{7}\cdot 7,\\[4pt] &-\frac{9}{7} = -1 - l_{31}\cdot 2 = -1 - \frac{1}{7}\cdot 2,\\[4pt] &-\frac{39}{7} = -6 - l_{31}\cdot(-3) = -6 - \frac{1}{7}\cdot(-3). \end{aligned}
Assim a nova linha 3 é \bigl[0,\; -\tfrac{9}{7},\; -\tfrac{39}{7}\bigr].
  • Neste estágio, a forma intermediária (após eliminar a primeira coluna) fornece os blocos iniciais de U:
U=\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\[4pt] 0 & \tfrac{31}{7} & -\tfrac{15}{7}\\[4pt] 0 & -\tfrac{9}{7} & -\tfrac{39}{7} \end{pmatrix}
ainda faltando zerar a posição (3,2).]

Passo 4

Segunda etapa da eliminação: usar o pivô U_{22}=\tfrac{31}{7} para zerar a entrada (3,2).
  • O multiplicador é
l_{32}=\frac{-\tfrac{9}{7}}{\tfrac{31}{7}}=\frac{-9}{31}.
  • Atualizo a linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - l_{32}\cdot \text{linha}_2.
Para a terceira entrada da linha 3 (coluna 3) temos
U_{33} = -\frac{39}{7} - l_{32}\cdot\left(-\frac{15}{7}\right) = -\frac{39}{7} -\left(\frac{-9}{31}\right)\left(-\frac{15}{7}\right).
Calcule passo a passo:
-\frac{39}{7} - \frac{135}{217} = -\frac{1209}{217} - \frac{135}{217} = -\frac{1344}{217} = -\frac{192}{31}.
(Aqui usei 217=7\cdot 31 e simplifiquei dividindo por 7.)
  • Portanto o elemento U_{33} é -\tfrac{192}{31}. Agora U é triangular superior completa:
U=\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\[4pt] 0 & \tfrac{31}{7} & -\tfrac{15}{7}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{192}{31} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Montagem de L e U.
  • As entradas de L são 1 na diagonal e os multiplicadores abaixo da diagonal recolhidos durante a eliminação:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{2}{7} & 1 & 0\\[4pt] \frac{1}{7} & -\frac{9}{31} & 1 \end{pmatrix}.
  • E U já foi obtida:
U=\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\[4pt] 0 & \tfrac{31}{7} & -\tfrac{15}{7}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{192}{31} \end{pmatrix}.
Esses são os resultados da parte (a).]

Passo 6

Verificação: multiplicar L por U e mostrar que dá A.
Vou calcular produto linha a linha para mostrar que cada entrada coincide com A.
  • Primeira linha de L é [1,0,0], logo a primeira linha de LU é igual à primeira linha de U:
(LU)_{1\ast}=(7,\;2,\;-3),
que é a primeira linha de A.
  • Segunda linha de L é [\tfrac{2}{7},1,0]. Multiplicando por U:
\begin{aligned} (LU)_{21} &= \tfrac{2}{7}\cdot 7 + 1\cdot 0 = 2,\\[4pt] (LU)_{22} &= \tfrac{2}{7}\cdot 2 + 1\cdot \tfrac{31}{7} = \tfrac{4}{7} + \tfrac{31}{7} = 5,\\[4pt] (LU)_{23} &= \tfrac{2}{7}\cdot(-3) + 1\cdot\bigl(-\tfrac{15}{7}\bigr)= -\tfrac{6}{7}-\tfrac{15}{7}=-3. \end{aligned}
Assim a segunda linha de LU é [2,\;5,\;-3], igual à segunda linha de A.
  • Terceira linha de L é [\tfrac{1}{7}, -\tfrac{9}{31}, 1]. Multiplicando por U:
\begin{aligned} (LU)_{31} &= \tfrac{1}{7}\cdot 7 + \left(-\tfrac{9}{31}\right)\cdot 0 + 1\cdot 0 = 1,\\[4pt] (LU)_{32} &= \tfrac{1}{7}\cdot 2 + \left(-\tfrac{9}{31}\right)\cdot \tfrac{31}{7} + 1\cdot 0 = \tfrac{2}{7} - \tfrac{9}{7} = -1,\\[4pt] (LU)_{33} &= \tfrac{1}{7}\cdot(-3) + \left(-\tfrac{9}{31}\right)\cdot\left(-\tfrac{15}{7}\right) + 1\cdot\left(-\tfrac{192}{31}\right). \end{aligned}
Calcule a última linha:
-\tfrac{3}{7} + \tfrac{135}{217} - \tfrac{192}{31} = \tfrac{-93}{217} + \tfrac{135}{217} - \tfrac{192\cdot 7}{217} = \tfrac{42}{217} - \tfrac{1344}{217} = -\tfrac{1302}{217} = -6.
(O cálculo intermediário foi mostrado para controle; o resultado final é -6.)
Portanto a terceira linha de LU é [1,\,-1,\,-6], que é a terceira linha de A.
Conclusão: LU=A. Isso responde (b).]

Passo 7

Agora uso a decomposição LU para resolver o sistema A x=b. A ideia é resolver primeiro L y=b por substituição direta (forward substitution), depois resolver U x = y por retro-substituição (back substitution).
  • Escrevendo:
L y = b,\qquad U x = y.
Resolverei L y=b para y=(y_1,y_2,y_3)^T.
As equações explícitas são:
\begin{aligned} &1\cdot y_1 = -12,\\[4pt] &\tfrac{2}{7} y_1 + 1\cdot y_2 = -20,\\[4pt] &\tfrac{1}{7} y_1 - \tfrac{9}{31} y_2 + 1\cdot y_3 = -26. \end{aligned}
  • Da primeira equação:
y_1=-12.
  • Segunda equação:
y_2 = -20 - \tfrac{2}{7}y_1 = -20 - \tfrac{2}{7}(-12) = -20 + \tfrac{24}{7} = -\tfrac{116}{7}.
  • Terceira equação:
\begin{aligned} y_3 &= -26 - \tfrac{1}{7}y_1 + \tfrac{9}{31}y_2\\[4pt] &= -26 - \tfrac{1}{7}(-12) + \tfrac{9}{31}\left(-\tfrac{116}{7}\right). \end{aligned}
Calcule passo a passo:
-\tfrac{1}{7}(-12)=\tfrac{12}{7},\qquad \tfrac{9}{31}\left(-\tfrac{116}{7}\right)=-\tfrac{1044}{217}=-\tfrac{1044}{217}.
Convertendo tudo com denominador 217 e somando obtém-se
y_3=-\tfrac{902}{31}.
Portanto
y=\begin{pmatrix}-12\\[4pt]-\tfrac{116}{7}\\[4pt]-\tfrac{902}{31}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolvo U x = y por retro-substituição. As equações são:
\begin{aligned} &7x_1 + 2x_2 - 3x_3 = y_1 = -12,\\[4pt] &\tfrac{31}{7}x_2 - \tfrac{15}{7}x_3 = y_2 = -\tfrac{116}{7},\\[4pt] & -\tfrac{192}{31}x_3 = y_3 = -\tfrac{902}{31}. \end{aligned}
  • Da terceira equação:
-\tfrac{192}{31}x_3 = -\tfrac{902}{31} \quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{902}{192}=\frac{451}{96}.
  • Da segunda equação multiplico ambos os lados por 7 para simplificar:
31x_2 - 15x_3 = -116.
Isolando x_2:
x_2 = \frac{-116 + 15x_3}{31}.
Substituindo x_3=\tfrac{451}{96}:
x_2 = \frac{-116 + 15\cdot \tfrac{451}{96}}{31} = -\frac{47}{32}.
(Os passos algébricos simplificadores levaram à fração reduzida -\tfrac{47}{32}.)
  • Finalmente, da primeira equação:
7x_1 = -12 - 2x_2 + 3x_3.
Substituindo x_2=-\tfrac{47}{32} e x_3=\tfrac{451}{96} e simplificando, obtemos
x_1=\tfrac{23}{32}.
Assim a solução do sistema é
x=\begin{pmatrix}\tfrac{23}{32}\\[4pt]-\tfrac{47}{32}\\[4pt]\tfrac{451}{96}\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{2}{7} & 1 & 0\\[4pt] \frac{1}{7} & -\frac{9}{31} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\[4pt] 0 & \tfrac{31}{7} & -\tfrac{15}{7}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{192}{31} \end{pmatrix}
(b) LU=\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\[4pt] 2 & 5 & -3\\[4pt] 1 & -1 & -6 \end{pmatrix}=A
(c) x=\begin{pmatrix}\tfrac{23}{32}\\[4pt]-\tfrac{47}{32}\\[4pt]\tfrac{451}{96}\end{pmatrix}]

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