Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
lx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas:
O objetivo é escalonar a matriz ampliada até a forma escada (e depois reduzi-la), determinar o posto da matriz de coeficientes e da matriz ampliada , e, se for possível, encontrar o grau de liberdade pelo Teorema de Rouché-Capelli.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada [Amid b] correspondente:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 2 & 5 & -2 & 3 ]

Passo 3

Primeiro pivô em ,(1,1). Zeramos o elemento abaixo em posição (2,1) usando
R2 R2 - 2R1
Isso dá
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 0 & 3 & -4 & -5 ],
que já está em forma escada (echelon form).

Passo 4

Agora vamos reduzir totalmente (row-reduced echelon form). Primeiro normalizamos o segundo pivô:
R2 tfrac13R2 Longrightarrow [ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 0 & 1 & -tfrac43 & -tfrac53 ]
Em seguida, eliminamos o termo acima do pivô em (2,2):
R1 R1 - R2 Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & tfrac73 & tfrac173 0 & 1 & -tfrac43 & -tfrac53 ]
Essa é a forma escalonada reduzida.

Passo 5

A matriz de coeficientes A em forma escada tem duas linhas não-nulas, logo
rank(A)=2
Como a matriz ampliada também tem duas linhas não-nulas na forma escada,
rank([Amid b])=2

Passo 6

Pelo Teorema de Rouché-Capelli, o sistema é possível e indeterminado se rank(A)=rank([Amid b])< número de incógnitas. Aqui temos 2<3, então há soluções infinitas. O grau de liberdade é
nº incógnitas - rank(A) =3-2 =1 ºó

Resposta

Matriz escalonada (echelon):
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 0 & 3 & -4 & -5 ]
Matriz reduzida (row-reduced echelon):
[ccc|c 1 & 0 & tfrac73 & tfrac173 0 & 1 & -tfrac43 & -tfrac53 ]
rank(A)=2,;rank([Amid b])=2,;grau de liberdade =1

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