Sejam ^r1 a reta que passa pelo ponto P1(1,1,2) e é paralela ao vetor v=(1,1,0) e r2 a reta de intersecção dos planos pi1: x+2 y+z=4 e pi2: x+z=2
Calcule a distância entre r1 e r2.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
  • r1 passa por P1(1,1,2) e tem direção v1=(1,1,0).
  • r2 é a intersecção dos planos
    pi1: x+2y+z=4, pi2: x+z=2
Queremos a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre retas “skew” (não concorrentes e não paralelas):
dist(r1,r2) =l|,(P2-P1)cdotl(v1times v2r)r|lvert v1times v2rvert,
onde v2 é vetor-direção de r2 e P2 é um ponto qualquer em r2.

Passo 2

Encontrar o vetor-direção de r2. Os planos têm normais
n1=(1,2,1) e n2=(1,0,1).
Logo
v2=n1times n2 = i&j&k 1&2&1 1&0&1 =(2cdot1-1cdot0),i-l(1cdot1-1cdot1r),j+(1cdot0-2cdot1),k =(2,0,-2)

Passo 3

Achar um ponto
Tomamos e . Assim escolhemos

Passo 4

Calcular v1times v2, sua norma e o produto escalar com P2-P1.
v1=(1,1,0), v2=(2,0,-2),
v1times v2 =(1,1,0)times(2,0,-2) =l(-2,,2,,-2r),
llvert v1times v2rrvert =raiz(-2)^2+2^2+(-2)^2 =raiz12 =2raiz3
E
P2-P1=(2,1,0)-(1,1,2)=(1,0,-2),
(P2-P1)cdot(v1times v2) =(1,0,-2)cdot(-2,2,-2) =-2+0+4=2

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
dist(r1,r2) =l|(P2-P1)cdot(v1times v2)r|lvert v1times v2rvert =|2|2raiz3 =1raiz3

Resposta

A distância entre r1 e r2 é 1raiz3.

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