Resolva os sistemas seguintes
\left{ x-2 y+3 z & =21 2 x-y+2 z & =21 3 x+y+2 z & =14 4 x+2 y+z & =14\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com quatro equações e três incógnitas (x,y,z):
x - 2y + 3z = 21, 2x - y + 2z = 21, 3x + y + 2z = 14, 4x + 2y + z = 14
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por método de substituição e eliminação. Vamos isolar uma variável numa equação e substituir nas demais.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x = 21 + 2y - 3z
Em seguida, substituímos esse valor de x na segunda e na terceira equações para obter um sistema de duas equações em y e z.

Passo 3

Substituindo em
;2x - y + 2z = 21; temos
2(21 + 2y - 3z) - y + 2z = 21 Longrightarrow 42 + 4y - 6z - y + 2z = 21 Longrightarrow 3y - 4z = -21
Chamemos essa equação de (A):
(A) 3y - 4z = -21
Substituindo em
;3x + y + 2z = 14; temos
3(21 + 2y - 3z) + y + 2z = 14 Longrightarrow 63 + 6y - 9z + y + 2z = 14 Longrightarrow 7y - 7z = -49
Chamemos essa de (B):
(B) 7y - 7z = -49 Longrightarrow y - z = -7

Passo 4

Agora resolvemos o sistema formado por (A) e (B):
3y - 4z = -21, y - z = -7
Multiplicando a segunda equação por 3:
3y - 3z = -21
Subtraindo da equação (A):
(3y - 4z) - (3y - 3z) = -21 - (-21) Longrightarrow -4z + 3z = 0 Longrightarrow -z = 0 Longrightarrow z = 0
Em seguida, de y - z = -7 vem
y = -7 + z = -7 + 0 = -7

Passo 5

Finalmente, retornamos a x = 21 + 2y - 3z:
x = 21 + 2(-7) - 3cdot 0 = 21 - 14 = 7
Assim, obtemos
x = 7, y = -7, z = 0

Passo 6

Para garantir que não haja contradição, verificamos a quarta equação:
4x + 2y + z = 4cdot 7 + 2cdot(-7) + 0 = 28 - 14 = 14,
coerente com o lado direito. Logo o sistema é consistente.

Resposta

(x,y,z) = (7,,-7,,0)

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