Resolva os sistemas seguintes
\left{ rrr2 x+y-z-t & =3 x-y+z+t & =3 3 x+y-z-3 t & =3\right.

Passo 1

Vamos resolver um sistema de equações lineares. O enunciado nos dá três equações com quatro variáveis: x, y, z e t. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação, para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
2x + y - z - t = 3 x - y + z + t = 3 3x + y - z - 3t = 3

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar y somando a primeira e a segunda equação.
Primeira equação: 2x + y - z - t = 3
Segunda equação: x - y + z + t = 3
Somando as duas:
(2x + y - z - t) + (x - y + z + t) = 3 + 3

Passo 4

Simplificando a soma:
2x + x + y - y - z + z - t + t = 6
Isso reduz para:
3x = 6

Passo 5

Agora, resolvemos para x:
3x = 6 implies x = 63 = 2

Passo 6

Com o valor de x encontrado, vamos substituir x = 2 na segunda equação para encontrar uma relação entre y, z e t:
2 - y + z + t = 3
Subtraindo 2 de ambos os lados:
-y + z + t = 1

Passo 7

Rearranjando a equação:
y = z + t - 1
Agora, temos y em termos de z e t. Isso significa que z e t são variáveis livres e podem assumir qualquer valor. Vamos expressar as variáveis em termos de parâmetros.

Passo 8

Vamos definir z = s e t = r, onde s e r são parâmetros que podem ser quaisquer números reais.
Então:
y = s + r - 1
x = 2

Passo 9

Agora, precisamos verificar a terceira equação para garantir que nossas soluções satisfazem todas as equações do sistema.
Terceira equação: 3x + y - z - 3t = 3
Substituindo x = 2, y = s + r - 1, z = s e t = r:
3(2) + (s + r - 1) - s - 3r = 3

Passo 10

Simplificando:
6 + s + r - 1 - s - 3r = 3
5 - 2r = 3

Passo 11

Resolvendo para r:
-2r = 3 - 5
-2r = -2 implies r = 1

Passo 12

Com r = 1, podemos substituir de volta para encontrar y:
y = s + 1 - 1 = s

Passo 13

Portanto, as soluções do sistema são:
x = 2 y = s z = s t = 1
onde s é qualquer número real.

Resposta

As soluções do sistema são todas as tuplas (x, y, z, t) onde:
x = 2, y = s, z = s, t = 1
com s sendo qualquer número real.

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