Vamos resolver um sistema de equações lineares. O enunciado nos dá três equações com quatro variáveis: , , e . Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação, para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Passo 3
Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar y somando a primeira e a segunda equação.
Primeira equação: 2x + y - z - t = 3
Segunda equação: x - y + z + t = 3
Somando as duas:
(2x + y - z - t) + (x - y + z + t) = 3 + 3
Passo 4
Simplificando a soma:
2x + x + y - y - z + z - t + t = 6
Isso reduz para:
3x = 6
Passo 5
Agora, resolvemos para x:
3x = 6 implies x = 63 = 2
Passo 6
Com o valor de x encontrado, vamos substituir x = 2 na segunda equação para encontrar uma relação entre y, z e t:
2 - y + z + t = 3
Subtraindo 2 de ambos os lados:
-y + z + t = 1
Passo 7
Rearranjando a equação:
y = z + t - 1
Agora, temos y em termos de z e t. Isso significa que z e t são variáveis livres e podem assumir qualquer valor. Vamos expressar as variáveis em termos de parâmetros.
Passo 8
Vamos definir z = s e t = r, onde s e r são parâmetros que podem ser quaisquer números reais.
Então:
y = s + r - 1
x = 2
Passo 9
Agora, precisamos verificar a terceira equação para garantir que nossas soluções satisfazem todas as equações do sistema.
Terceira equação: 3x + y - z - 3t = 3
Substituindo x = 2, y = s + r - 1, z = s e t = r:
3(2) + (s + r - 1) - s - 3r = 3
Passo 10
Simplificando:
6 + s + r - 1 - s - 3r = 3
5 - 2r = 3
Passo 11
Resolvendo para r:
-2r = 3 - 5
-2r = -2 implies r = 1
Passo 12
Com r = 1, podemos substituir de volta para encontrar y:
y = s + 1 - 1 = s
Passo 13
Portanto, as soluções do sistema são:
x = 2 y = s z = s t = 1
onde s é qualquer número real.
Resposta
As soluções do sistema são todas as tuplas (x, y, z, t) onde: