Resolva TRÊS das integrais de superfície em campo escalar:
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d S em que S em que S é a parte do cilindro z=x^{2}+y^{2} com 1 \leq z \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS
onde S é a parte do cilindro definido por
z = x^{2}+y^{2}, \quad 1 \le z \le 3.
O conteúdo é “integrais de superfície em campo escalar” e vamos usar:
  1. Uma parametrização adequada de S.
  2. A fórmula
dS = \Bigl\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\Bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos S em coordenadas cilíndricas “invertidas”:
r\ge0,\quad \theta\in[0,2\pi),
escrevendo
x = r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=r^{2}.
Como 1\le z\le3, temos 1\le r^{2}\le3, ou seja 1\le r\le\sqrt{3}.
Então a parametrização é
\mathbf r(r,\theta) =\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\bigr), \quad (r,\theta)\in[1,\sqrt3]\times[0,2\pi].
Calculamos os vetores tangentes:
\mathbf r_{r} =(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2r), \quad \mathbf r_{\theta} =(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial tem norma
\|\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\| = r\sqrt{1 + 4r^{2}}.
Logo
dS = r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 3

Na integral o integrando é x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS =\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=1}^{\sqrt3} \bigl(r^{2}\bigr)\, \bigl(r\sqrt{1+4r^{2}}\bigr) \,dr\,d\theta =2\pi \int_{1}^{\sqrt3} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = 1 + 4r^{2}, \quad du = 8r\,dr \;\Longrightarrow\; r\,dr = \frac{du}{8}.
Como r^{2} = (u-1)/4, temos
r^{3}dr = r^{2}\,(r\,dr) = \frac{u-1}{4}\,\frac{du}{8} = \frac{u-1}{32}\,du.
Então
\int_{1}^{\sqrt3}r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr =\int_{u=5}^{13}\frac{u-1}{32}\,u^{1/2}\,du =\frac{1}{32}\int_{5}^{13}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)du.
Integrando:
\int u^{3/2}du = \frac{2}{5}u^{5/2}, \quad \int u^{1/2}du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
\int_{5}^{13}\!(u^{3/2}-u^{1/2})du =\Bigl[\tfrac{2}{5}u^{5/2}-\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{5}^{13}.
Portanto a integral de superfície vale
2\pi\cdot\frac{1}{32}\Bigl[\tfrac{2}{5}\bigl(13^{5/2}-5^{5/2}\bigr) -\tfrac{2}{3}\bigl(13^{3/2}-5^{3/2}\bigr)\Bigr].

Resposta

\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \frac{\pi}{16}\Bigl[\tfrac{1}{5}\bigl(13^{5/2}-5^{5/2}\bigr) -\tfrac{1}{3}\bigl(13^{3/2}-5^{3/2}\bigr)\Bigr].

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