Resolva TRÊS das integrais de superfície em campo vetorial:
\iint_{S}(2+z) d x+(2) d y+\left(x^{2}+y^{2}\right) d z em que S é a parte no primeiro octante do paraboloide z=x^{2}+y^{2} interceptada pelo plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de um campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = (2+z)\,\mathbf{i} + 2\,\mathbf{j} + (x^2+y^2)\,\mathbf{k}
sobre a parte de paraboloide
S:\;z = x^2+y^2
no primeiro octante truncada por z=4.
Para resolver, vamos usar a formulação
\iint_{S}P\,dx + Q\,dy + R\,dz \;=\;\iint_{D}\mathbf{F}\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\cdot\bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr)\,dA
onde f(x,y)=x^2+y^2 e D é a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = 2x,\quad f_y = 2y.
Então o vetor que gera d\mathbf{S} = (r_x\times r_y)\,dA é
(-f_x,\,-f_y,\,1) = (-2x,\,-2y,\,1).
Substituindo \mathbf{F} em z=f(x,y) temos
\mathbf{F} = \bigl(2 + x^2+y^2,\;2,\;x^2+y^2\bigr).
O produto escalar fica
\mathbf{F}\cdot(-2x,-2y,1) = (2+z)(-2x) + 2(-2y) + (x^2+y^2)\cdot1.

Passo 3

Substituindo z=x^2+y^2 no integrando:
(2+z)(-2x) = -4x -2x(x^2+y^2),\quad 2(-2y)=-4y,
então
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = -4x -2x^3 -2xy^2 \;-\;4y \;+\;x^2 + y^2 = -2x^3 + x^2 -2xy^2 + y^2 -4x -4y.
A integral de superfície é
\iint_{D}\bigl(-2x^3 + x^2 -2xy^2 + y^2 -4x -4y\bigr)\,dA.

Passo 4

Como D é o quarto de disco x\ge0,y\ge0, x^2+y^2\le4, usamos coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta, \quad 0\le r\le2,\;0\le\theta\le\tfrac\pi2.
O integrando em polares simplifica para
-2r^3\cos\theta + r^2 -4r(\cos\theta+\sin\theta)
e multiplicando por r do dA
-2r^4\cos\theta + r^3 -4r^2(\cos\theta+\sin\theta).

Passo 5

Agora separamos em três integrais:
I_1 = -2\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta \int_{0}^{2}r^4\,dr = -2\cdot1\cdot\frac{2^5}{5} = -\frac{64}{5},
I_2 = \int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta\, \int_{0}^{2}r^3\,dr = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{2^4}{4} = 2\pi,
I_3 = -4\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta \int_{0}^{2}r^2\,dr = -4\cdot2\cdot\frac{2^3}{3} = -\frac{64}{3}.
Somando,
I = I_1 + I_2 + I_3 = -\frac{64}{5} + 2\pi - \frac{64}{3} = 2\pi - \frac{512}{15}.

Resposta

2\pi - \frac{512}{15}

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