Resolva TRÊS das integrais de superfície em campo vetorial:
em que S é a parte no primeiro octante do paraboloide
interceptada pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície de um campo vetorial
sobre a parte de paraboloide
no primeiro octante truncada por
.
Para resolver, vamos usar a formulação
Para resolver, vamos usar a formulação
onde
e
é a projeção de
no plano
.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
:
Então o vetor que gera
é
Substituindo
em
temos
O produto escalar fica
Passo 3
Substituindo
no integrando:
então
A integral de superfície é
Passo 4
Como
é o quarto de disco
,
, usamos coordenadas polares:
O integrando em polares simplifica para
e multiplicando por
do
dá
Passo 5
Agora separamos em três integrais:
Somando,