Resolva os três problemas de variação de temperatura a seguir, sabendo que a lei de variação de temperatura de Newton afirma que:
A taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente.
Um assado pesando 2,5 kgf, inicialmente a 10^circ C, é posto em um forno a 280^circ C às cinco horas da tarde. Depois de 75 min a temperatura T(t) do assado é de 90^circ C. Quando a temperatura do assado será igual a 150^circ C ?

Passo 1

O enunciado fala de um corpo (o assado) aquecendo num forno a temperatura ambiente constante de 280^circC. Pelo enunciado temos: massa de 2,5,kgf (não entra direto na fórmula), temperatura inicial T(0)=10^circC, ambiente a Te=280^circC e, após 75 min, T(75)=90^circC. O conteúdo é a lei de Newton do resfriamento/aquecimento, que diz que
dTdt=kl(Te-Tr),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade que vamos determinar.

Passo 2

Resolvendo a equação diferencial
dTdt=kl(Te-Tr)
separa-se variáveis e integra-se, resultando na solução geral
T(t)=Te+l(T(0)-Ter)e^-k,t

Passo 3

Usando T(0)=10^circC e Te=280^circC, temos
T(t)=280+l(10-280r)e^-k,t =280-270,e^-k,t

Passo 4

Agora impomos T(75)=90^circC, ou seja,
90=280-270,e^-75k ;Longrightarrow; 270,e^-75k=280-90=190 ;Longrightarrow; e^-75k=190270=1927
Tomando logaritmo,
-75k=ln!l(tfrac1927r) ;Longrightarrow; k=-175ln!l(tfrac1927r) =175ln!l(tfrac2719r)

Passo 5

Queremos T(t)=150^circC. Da expressão
150=280-270,e^-k,t ;Longrightarrow; 270,e^-k,t=280-150=130 ;Longrightarrow; e^-k,t=130270=1327,
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-k,t=ln!l(tfrac1327r) ;Longrightarrow; t=-1kln!l(tfrac1327r) =1kln!l(tfrac2713r)
Substituindo k=tfrac175ln!l(tfrac2719r),
t =75;ln!l(tfrac2713r)ln!l(tfrac2719r) approx 155,96 min approx 156 min

Passo 6

Convertendo 156 min em horas e minutos, temos 2 h e 36 min. Como o assado entrou no forno às 17 h, o tempo em que atinge 150^circC é
17h + 2h36min = 19h36min

Resposta

O assado alcançará 150^circC por volta das 19 h 36 min.

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