Resolva para u=u(x, y) :
u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de derivada parcial
u_{yy}=0,
ou seja, a segunda derivada de u em relação a y é zero. Para resolver, vamos tratar x como parâmetro e integrar duas vezes em y.

Passo 2

Como
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(u_{y}\bigr)=0,
concluímos que u_{y} não depende de y, apenas de x. Logo podemos escrever
u_{y}(x,y)=F(x),
onde F é uma função arbitrária de x.

Passo 3

Integrando em y, obtemos
u(x,y)=\int u_{y}(x,y)\,dy=\int F(x)\,dy=F(x)\,y+G(x),
onde G é outra função arbitrária de x.

Resposta

u(x,y)=F(x)\,y+G(x),
com F e G funções arbitrárias de x.

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