Resolva para u=u(x, y) :
u_{y}+2 y u=0

Passo 1

O enunciado pede a função u=u(x,y) que satisfaz
u_{y} + 2\,y\,u = 0.
Esse é um PDE em que só aparece derivada de u em relação a y. Podemos tratar x como parâmetro e resolver uma EDO linear de primeira ordem em y. Para isso, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação como
\frac{\partial u}{\partial y} + 2\,y\,u = 0.
Comparando com o formato padrão \tfrac{du}{dy} + P(y)\,u=0, temos P(y)=2y.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(y) = \exp\Bigl(\int P(y)\,dy\Bigr) = \exp\Bigl(\int 2y\,dy\Bigr) = \exp\bigl(y^{2}\bigr).
Multiplicando a EDO por \mu(y), obtemos
e^{y^{2}}\frac{\partial u}{\partial y} + 2y\,e^{y^{2}}\,u = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{\partial}{\partial y}\bigl(u\,e^{y^{2}}\bigr)=0.

Passo 4

Integrando em y, concluímos que
u(x,y)\,e^{y^{2}} = C(x),
onde C(x) é a “constante” de integração que pode depender de x.

Passo 5

Isolando u, encontramos a solução geral
u(x,y) = C(x)\,e^{-y^{2}}.
Renomeando C(x) para, por exemplo, f(x), temos a forma mais usual da solução.

Resposta

u(x,y) = f(x)\,e^{-y^{2}},
onde f é função arbitrária de x.

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